Elastiske støt i en dimensjon, spesielle tilfeller, øvelser

De elastiske støt eller elastiske kollisjoner består av korte, men intense interaksjoner mellom objekter, der både momentum og kinetisk energi er bevart. Krasjer er svært hyppige hendelser i naturen: fra subatomære partikler til galakser, til biljardkuler og støtfangerbiler i fornøyelsesparker, de er alle gjenstander som kan kollidere.

Under en kollisjon eller kollisjon er interaksjonskreftene mellom objekter veldig sterke, mye mer enn de som kan handle eksternt. På denne måten kan det fastslås at partiklene under kollisjonen danner et isolert system.

I dette tilfellet er det sant at:

P_eller = P_F

Mengden bevegelse P_eller før kollisjonen er den samme som etter kollisjonen. Dette gjelder for enhver type kollisjon, både elastisk og uelastisk..

Vurder nå følgende: gjenstander gjennomgår en viss deformasjon under en kollisjon. Når sjokket er elastisk, gjenvinner gjenstandene raskt sin opprinnelige form.

Artikkelindeks

• 1 Bevaring av kinetisk energi
• 2 Elastiske støt i en dimensjon
  • 2.1 -Formler for elastiske kollisjoner
• 3 Spesielle tilfeller ved elastiske kollisjoner
  • 3.1 To identiske masser
  • 3.2 To identiske masser, hvorav den første var i ro
  • 3.3 To forskjellige masser, en av dem var i utgangspunktet i ro
• 4 Restitusjonskoeffisient eller Huygens-Newton-regelen
• 5 Øvelser løst
  • 5.1 -Løst øvelse 1
  • 5.2 -Løst øvelse 2
  • 5.3 -Løst øvelse 3
  • 5.4 -Løst øvelse 4
• 6 Referanser

Bevaring av kinetisk energi

Normalt blir en del av gjenstandenes energi brukt til varme, deformasjon, lyd og noen ganger til og med å produsere lys under et krasj. Så den kinetiske energien til systemet etter kollisjonen er mindre enn den opprinnelige kinetiske energien.

Når den kinetiske energien K er bevart, da:

K_eller = K_F

Noe som betyr at kreftene som virker under kollisjonen er konservative. Under kollisjonen blir den kinetiske energien kort transformert til potensiell energi og deretter tilbake til kinetisk energi. De respektive kinetiske energiene varierer, men summen forblir konstant.

Perfekt elastiske kollisjoner er sjeldne, selv om biljardkuler er en ganske god tilnærming, det samme er kollisjoner som oppstår mellom ideelle gassmolekyler..

Elastiske støt i en dimensjon

La oss undersøke en kollisjon av to partikler av dette i en enkelt dimensjon; det vil si at de samhandlende partiklene beveger seg, si x-aksen. Anta at de har masser m₁ Y m_to. Starthastighetene til hver er eller₁ Y eller_to henholdsvis. Endelige hastigheter er v₁ Y v_to.

Vi kan dispensere med vektornotasjonen, siden bevegelsen utføres langs x-aksen, men tegnene (-) og (+) indikerer bevegelsesretningen. Til venstre er negativt og til høyre positivt, etter konvensjon.

-Formler for elastiske kollisjoner

For mengden bevegelse

m₁eller₁ + m_toeller_to = m₁v₁ + m_tov_to

For kinetisk energi

½ m₁eller^to₁ + ½ m_toeller^to_to = ½ m₁v^to₁ +  ½ m_tov^to_to

Forutsatt at massene og starthastighetene er kjent, kan ligningene grupperes for å finne de endelige hastighetene.

Problemet er at det i prinsippet er nødvendig å utføre litt kjedelig algebra, siden ligningene for kinetisk energi inneholder kvadratene til hastighetene, noe som gjør beregningen litt tungvint. Det ideelle ville være å finne uttrykk som ikke inneholder dem.

Det første er å gjøre uten faktoren ½ og omorganisere begge ligningene på en slik måte at et negativt tegn vises og massene kan tas med i beregningen:

m₁eller₁ - m₁v₁ = M_tov_to - m_toeller_to

m₁eller^to₁ - m₁v^to₁  = + M_tov^to_to - m_toeller^to_to

Å bli uttrykt på denne måten:

m₁(eller₁ - v₁ ) = m_to(v_to - eller_to)

m₁(eller^to₁ - v^to₁ ) = m_to (v^to_to - eller^to_to)

Forenkling for å eliminere kvadratene i hastighetene

Nå må vi gjøre bruk av produktets bemerkelsesverdige sum ved forskjellen i den andre ligningen, som vi får et uttrykk med som ikke inneholder rutene, som opprinnelig ønsket:

m₁(eller₁ - v₁ ) = m_to(v_to - eller_to)

m₁(eller₁ - v₁ ) (eller₁ + v₁ ) = m_to (v_to - eller_to) (v_to + eller_to)

Det neste trinnet er å erstatte den første ligningen i den andre:

m_to(v_to - eller_to) (eller₁ + v₁ ) = m_to (v_to - eller_to) (v_to + eller_to)

Og når begrepet gjentas m_to(v_to - eller_to) på begge sider av likestillingen, er begrepet kansellert og ser slik ut:

(eller₁ + v₁) = (v_to + eller_to)

Eller enda bedre:

eller₁ - eller_to= v_to -  v₁

Endelige hastigheter v₁ og V_to av partiklene

Nå har du to lineære ligninger som det er lettere å jobbe med. Vi vil sette dem tilbake hverandre:

m₁eller₁ + m_toeller_to = m₁v₁ + m_tov_to

eller₁ - eller_to= v_to -  v₁

Multipliser den andre ligningen med m₁ og å legge til ord til begrep er:

m₁eller₁ + m_toeller_to = m₁v₁ + m_tov_to

m₁eller₁ - m₁eller_to= m₁v_to - m₁ v₁

-

2 m₁eller₁ + (m_to - m₁) eller_to = (m_to + m₁) v_to

Og det er allerede mulig å fjerne v_to. For eksempel:

Spesielle tilfeller ved elastiske kollisjoner

Nå som ligninger er tilgjengelige for de endelige hastighetene til begge partiklene, er det på tide å analysere noen spesielle situasjoner.

To identiske masser

Deretter m₁ = m_to = m Y:

v₁ = u_to

v_to = u₁

Partiklene utveksler ganske enkelt hastighetene etter kollisjonen.

To identiske masser, hvorav den første var i ro

En gang til  m₁ = m_to = m og antar det eller₁ = 0:

v₁ = u_to

v_to = 0

Etter kollisjonen får partikkelen som var i ro den samme hastigheten som partikkelen som beveget seg, og dette stopper igjen.

To forskjellige masser, en av dem opprinnelig i ro

Anta i så fall det eller₁ = 0, men massene er forskjellige:

Hva om m₁ er mye større enn m_to?

Det hender at m₁ er fortsatt i ro og m_to kommer tilbake så fort den traff.

Restitusjonskoeffisient eller Huygens-Newton-regelen

Tidligere ble følgende forhold mellom hastighetene avledet for to objekter i elastisk kollisjon: eller₁ - eller_to = v_to -  v₁. Disse forskjellene er de relative hastighetene før og etter kollisjonen. Generelt sett er det sant at for en kollisjon:

eller₁ - eller_to = - (v₁ -  v_to)

Konseptet med relativ hastighet blir best verdsatt hvis leseren forestiller seg at han befinner seg på en av partiklene, og fra denne posisjonen observerer han hastigheten med hvilken den andre partikkelen beveger seg. Ovennevnte ligning blir omskrevet slik:

Løst øvelser

-Løst øvelse 1

En biljardkule beveger seg mot venstre ved 30 cm / s og kolliderer frontalt med en annen identisk ball som beveger seg mot høyre i 20 cm / s. De to kulene har samme masse og kollisjonen er perfekt elastisk. Finne hastigheten til hver ball etter støt.

Løsning

eller₁ = -30 cm / s

eller_to = +20 cm / s

Det er det spesielle tilfellet der to identiske masser kolliderer i en dimensjon elastisk, derfor utveksles hastighetene.

v₁ = +20 cm / s

v_to = -30 cm / s

-Trening løst 2

Restitusjonskoeffisienten til en ball som spretter av bakken er lik 0,82. Hvis den faller fra hvile, hvilken brøkdel av den opprinnelige høyden vil ballen nå etter å ha spratt en gang? Og etter 3 spretter?

Løsning

Jord kan være objekt 1 i koeffisienten for restitusjonsligning. Og den forblir alltid i ro, slik at:

Med denne hastigheten spretter den:

+ Tegnet indikerer at det er en stigende hastighet. Og ifølge det når ballen en maksimal høyde på:

Nå går den tilbake til bakken igjen med en hastighet av samme størrelse, men motsatt tegn:

Dette oppnår en maksimal høyde på:

Gå tilbake til bakken med:

Suksessive spretter

Hver gang ballen spretter og stiger, multipliser hastigheten igjen med 0,82:

Nå har h₃ er omtrent 30% av h_eller. Hva ville være høyden til det 6. spretten uten å måtte gjøre så detaljerte beregninger som de forrige?

Ville det h₆ = 0,82¹² h_eller = 0,092h_eller eller bare 9% av h_eller.

-Trening løst 3

En blokk på 300 g beveger seg nordover med 50 cm / s og kolliderer med en 200 g blokk mot sør på 100 cm / s. Anta at sjokket er helt elastisk. Finn hastighetene etter støt.

Data

m₁ = 300 g; eller₁ = + 50 cm / s

m_to = 200 g; eller_to = -100 cm / s

-Trening løst 4

En masse m frigjøres₁ = 4 kg fra det angitte punktet på den friksjonsfrie banen, til den kolliderer med m_to = 10 kg i hvile. Hvor høyt stiger m?₁ etter kollisjonen?

Løsning

Siden det ikke er noen friksjon, bevares mekanisk energi for å finne hastigheten eller₁ med hva m₁ innvirkning  m_to. Opprinnelig er den kinetiske energien 0 siden m₁ del av hvile. Når den beveger seg på den horisontale overflaten har den ingen høyde, så den potensielle energien er 0.

mgh = ½ mu₁ ^to

eller_to = 0

Nå er hastigheten på m₁ etter kollisjonen:

Det negative tegnet betyr at det er returnert. Med denne hastigheten stiger den, og den mekaniske energien bevares igjen for å finne h ', høyden du kan stige opp etter krasj:

½ mv₁^to = mgh '

Merk at den ikke kommer tilbake til startpunktet i en høyde på 8 m. Den har ikke nok energi fordi massen ga en del av sin kinetiske energi m_1.

Referanser

1. Giancoli, D. 2006. Fysikk: prinsipper med applikasjoner. 6^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9^na Cengage læring. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fysikk for vitenskap og teknologi. 5. utg. Bind 1. Redaksjonell Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fysikk: Konsepter og applikasjoner. 7. utgave. MacGraw Hill. 185-195