Forskjell på kuberformler, ligninger, eksempler, øvelser

De forskjell på terninger er et binomialt algebraisk uttrykk for formen a³ - b³, hvor begrepene a og b kan være reelle tall eller algebraiske uttrykk av forskjellige typer. Et eksempel på kubeforskjell er: 8 - x³, siden 8 kan skrives som 2³.

Geometrisk kan vi tenke oss en stor kube, med side a, hvorfra den lille kuben med side b trekkes fra, som illustrert i figur 1:

Volumet av den resulterende figuren er nøyaktig en forskjell på kuber:

V = a³ - b³

For å finne et alternativt uttrykk, observeres det at denne figuren kan spaltes i tre prismer, som vist nedenfor:

Et prisme har et volum gitt av produktet i tre dimensjoner: bredde x høyde x dybde. På denne måten er det resulterende volumet:

V = a³ - b³ = a^to.b + b³ + a.b^to

Faktoren b det er vanlig til høyre. Videre, i figuren vist ovenfor, er det spesielt sant at:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Derfor kan det sies at: b = a - b. Og dermed:

til³ - b³ = b (a^to + b^to +a.b) = (a-b) (a^to + a.b + b^to)

Denne måten å uttrykke forskjellen på kuber på, vil vise seg å være veldig nyttig i mange applikasjoner og ville blitt oppnådd på samme måte, selv om siden av den manglende kuben i hjørnet var forskjellig fra b = a / 2.

Merk at den andre parentesenser mye ut som det bemerkelsesverdige produktet av kvadratet av summen, men kryssordet multipliseres ikke med 2. Leseren kan utvikle høyre side for å verifisere at den faktisk er oppnådd til³ - b³.

Artikkelindeks

• 1 Eksempler
  • 1.1 Fakturering av en kubeforskjell
• 2 Øvelsen løst
  • 2.1 Øvelse 1
  • 2.2 Øvelse 2
• 3 Referanser

Eksempler

Det er flere forskjeller i kuber:

1 - m⁶

til⁶b³ - 8z¹²Y⁶

(1/125) .x⁶ - 27 og⁹

La oss analysere hver enkelt av dem. I det første eksemplet kan 1 skrives som 1 = 1³ og begrepet m⁶ gjenstår: (m^to)³. Begge begrepene er perfekte kuber, derfor er forskjellen deres:

1 - m⁶ = 1³ - (m^to)³

I det andre eksemplet blir ordene omskrevet:

til⁶b³ = (a^tob)³

8z¹²Y⁶ = 2³ (z⁴)³ (Y^to)³ = (2z⁴Y^to)³

Forskjellen på disse terningene er: (a^tob)³ - (2z⁴Y^to)³.

Til slutt er brøkdelen (1/125) (1/5³), x⁶ = (x^to)³, 27 = 3³ og og⁹ = (og³)³. Ved å erstatte alt dette i det originale uttrykket får du:

(1/125) .x⁶  - 27 år⁹ = [(1/5) (x^to)]³ - (3 år³)³

Faktorerer en forskjell på kuber

Å faktorisere kubeforskjellen forenkler mange algebraiske operasjoner. For å gjøre dette er det nok å bruke formelen utledet ovenfor:

Nå består fremgangsmåten for å bruke denne formelen av tre trinn:

- Først oppnås terningroten til hver av forskjellene.

- Deretter konstrueres binomialet og trinomialet som vises på høyre side av formelen.

- Til slutt er binomialet og trinomialet erstattet for å oppnå den definitive faktoriseringen.

La oss illustrere bruken av disse trinnene med hvert av kubeforskjelleksemplene som er foreslått ovenfor, og dermed få det fakturerte ekvivalenten.

Eksempel 1

Faktor uttrykket 1 - m⁶   følge trinnene beskrevet. Vi begynner med å omskrive uttrykket som 1 - m⁶ = 1³ - (m^to)³ for å trekke ut de respektive terningrøttene til hvert begrep:

Deretter konstrueres binomialet og trinomialet:

a = 1

b = m^to

Deretter:

a - b = 1 - m^to

 (til^to +a.b + b^to) = 1^to + 1.m^to + (m^to)^to = 1 + m^to + m⁴

 Til slutt er det erstattet i formel a³ - b³ = (a-b) (a^to +a.b + b^to):

1 - m⁶ = (1 - m^to) (1 + m^to + m⁴)

Eksempel 2

Faktoriser:

til⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a^tob)³ - (2z⁴Y^to)³

Siden dette er perfekte terninger, er terningrøttene umiddelbare: a^tob og 2z⁴Y^to, derav følger at:

- Binomial: a^tob - 2z⁴Y^to

- Trinomial: (a^tob)^to + til^tob. 2z⁴Y^to + (til^tob + 2z⁴Y^to)^to

 Og nå er ønsket faktorisering konstruert:

til⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a^tob - 2z⁴Y^to). [(til^tob)^to + til^tob. 2z⁴Y^to + (til^tob + 2z⁴Y^to)^to] =

= (a^tob - 2z⁴Y^to). [til⁴b^to + 2. plass^tob.z.⁴Y^to + (til^tob + 2z⁴Y^to)^to]

I prinsippet er factoring klar, men det er ofte nødvendig å forenkle hver periode. Deretter utvikler vi det bemerkelsesverdige produktet - kvadrat av en sum - som vises på slutten, og legger deretter til like termer. Husk at kvadratet av en sum er:

(x + y)^to = x^to + 2xy + og^to

Det bemerkelsesverdige produktet til høyre er utviklet slik:

(til^tob + 2z⁴Y^to)^to = a⁴b^to + 4. plass^tob.z.⁴Y^to + 4z⁸Y⁴

 Erstatter utvidelsen oppnådd i faktorisering av kubeforskjellen:

til⁶b³ -8z¹²Y⁶ = (a^tob - 2z⁴Y^to). [til⁴b^to + 2. plass^tob.z.⁴Y^to + til⁴b^to + 4. plass^tob.z.⁴Y^to + 4z⁸Y⁴] =

Til slutt, når vi grupperer like termer og tar med de numeriske koeffisientene, som alle er jevne, får vi:

(til^tob - 2z⁴Y^to). [2a⁴b^to + Sjette^tob.z.⁴Y^to + 4z⁸Y⁴] = 2 (a^tob - 2z⁴Y^to). [til⁴b^to + 3.^tob.z.⁴Y^to + 2z⁸Y⁴]

Eksempel 3

Faktor (1/125) .x⁶  - 27 år⁹ det er mye enklere enn den forrige saken. Først blir ekvivalenter av a og b identifisert:

a = (1/5) x^to

b = 3y³

Deretter erstattes de direkte i formelen:

(1/125) .x⁶  - 27 år⁹ = [(1/5) x^to - 3 år³]. [(1/25) x⁴ + (3/5) x^toY³ + 9 år⁶]

Treningen løst

Forskjellen på kuber har, som vi har sagt, en rekke bruksområder i Algebra. La oss se noen:

Øvelse 1

Løs følgende ligninger:

a) x⁵ - 125 x^to = 0

b) 64 - 729 x³ = 0

Løsning til

Først blir ligningen beregnet på denne måten:

x^to (x³ - 125) = 0

Siden 125 er en perfekt terning, skrives parentesene som en kubeforskjell:

x^to . (x³ - 5³) = 0

Den første løsningen er x = 0, men vi finner mer hvis vi gjør x³ - 5³ = 0, deretter:

x³ = 5³ → x = 5

Løsning b

Venstre side av ligningen blir omskrevet til 64 - 729 x³ = 4³ - (9x)³. Derfor:

4³ - (9x)³ = 0

Siden eksponenten er den samme:

9x = 4 → x = 9/4

Øvelse 2

Faktor uttrykket:

(x + y)³ - (x - y)³

Løsning

Dette uttrykket er en forskjell på terninger, hvis vi i faktorformelen bemerker at:

a = x + y

b = x- y

Deretter blir binomialet konstruert først:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Og nå trinomialet:

til^to + a.b + b^to = (x + y)^to + (x + y) (x-y) + (x-y)^to

Merkbare produkter er utviklet:

(x + y)^to = x^to + 2xy + og^to

(x + y) (x-y) = x^to- Y^to

(x- y)^to = x^to - 2xy + og^to

Deretter må du erstatte og redusere like vilkår:

til^to + a.b + b^to = x^to + 2xy + og^to+ x^to- Y^to+ x^to - 2xy + og^to = 3x^to + Y^to

Faktoring resulterer i:

(x + y)³ - (x - y)³ = 2 år. (3x^to + Y^to)

Referanser

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Redaksjonell Cultural Venezolana S.A.
2. CK-12 Foundation. Sum og forskjell på kuber. Gjenopprettet fra: ck12.org.
3. Khan Academy. Faktoring av kubeforskjeller. Gjenopprettet fra: es.khanacademy.org.
4. Math is Fun Advanced. Forskjell på to kuber. Gjenopprettet fra: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktorerer en forskjell på kuber. Gjenopprettet fra: dcb.fi-c.unam.mx.