De logaritmisk funksjon er et matematisk forhold som forbinder hvert positive reelle tall x med sin logaritme Y på en base til. Denne relasjonen oppfyller kravene for å være en funksjon: hvert element x som tilhører domenet har et unikt bilde.
Derfor:
f (x) = y = loggtil x , med en> 0 og forskjellig fra 1.
Hovedegenskapene til den logaritmiske funksjonen er:
-Domenet er alle realer større enn 0, inkludert ikke 0. Med andre ord er det ingen logaritme på 0 eller negative tall i noen base. I intervallform:
Sol F = (0, ∞ +)
-Logaritmen til et tall kan være negativ, positiv eller 0, så dets område eller område er:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-Den logaritmiske funksjonen øker alltid for a> 1 og synker for a<1.
-Det omvendte av f (x) = loggtil x er den eksponensielle funksjonen.
Faktisk er logaritmefunksjonen den omvendte funksjonen til den potensielle funksjonen:
F-1(x) = aY
Siden logaritmen i basen til av et tall x, Det er tallet Y som basen skal heves til til å få x.
-Logaritmen til basen er alltid 1. Dermed er grafen til f (x) = loggtil x krysser alltid x-aksen på punktet (1,0)
-Den logaritmiske funksjonen er transcendent og det kan ikke uttrykkes som et polynom eller som en kvotient av disse. I tillegg til logaritmen inkluderer denne gruppen blant annet de trigonometriske og eksponensielle funksjonene.
Artikkelindeks
Den logaritmiske funksjonen kan etableres ved forskjellige baser, men de mest brukte er 10 og og, hvor og er Euler-tallet lik 2.71828 ... .
Når basen 10 brukes, kalles logaritmen en desimal logaritme, vulgær logaritme, Briggs eller bare logaritme.
Og hvis tallet e blir brukt, kalles det en naturlig logaritme, av John Napier, den skotske matematikeren som oppdaget logaritmer..
Notasjonen som brukes for hver enkelt er følgende:
-Desimal logaritme: logg10 x = logg x
-Naturlig logaritme: ln x
Når en annen base skal brukes, er det helt nødvendig å indikere det som et abonnement, fordi logaritmen til hvert tall er forskjellig avhengig av basen som skal brukes. For eksempel, hvis det er logaritmer i base 2, skriv:
y = loggto x
La oss se på logaritmen til tallet 10 i tre forskjellige baser, for å illustrere dette punktet:
logg 10 = 1
ln 10 = 2.30259
Loggto 10 = 3.32193
Vanlige kalkulatorer har bare desimallogaritmer (log-funksjon) og naturlig logaritme (ln-funksjon). På Internett er det kalkulatorer med andre baser. I alle fall kan leseren med hjelp bekrefte at verdiene ovenfor er sanne:
101 = 10
og2.3026 = 10.0001
to3.32193 = 10.0000
Små desimalforskjeller skyldes antall desimaler tatt ved beregning av logaritmen.
Blant fordelene med å bruke logaritmer er den enkle de gir å jobbe med store tall, ved hjelp av logaritmen deres i stedet for tallet direkte.
Dette er mulig fordi logaritmefunksjonen vokser saktere når tallene blir større, som vi kan se i grafen.
Så selv med veldig store tall er logaritmene deres mye mindre, og det er alltid enklere å manipulere små tall..
Videre har logaritmer følgende egenskaper:
-Produkt: logg (a.b) = logg a + logg b
-Quotient: logg (a / b) = logg - logg b
-Makt: logg ab = b.logg a
Og på denne måten blir produktene og kvotientene tillegg og subtraksjoner av mindre tall, mens potensasjonen blir et enkelt produkt selv om kraften er høy..
Derfor tillater logaritmer oss å uttrykke tall som varierer i veldig store verdiområder, for eksempel lydens intensitet, pH i en løsning, lysstyrken til stjerner, den elektriske motstanden og intensiteten til jordskjelv på Richter-skalaen..
La oss se et eksempel på håndtering av egenskapene til logaritmer:
Finn verdien av x i følgende uttrykk:
logg (5x +1) = 1 + logg (2x-1)
Vi har her en logaritmisk ligning, siden det ukjente er i logaritmens argument. Det løses ved å legge igjen en enkelt logaritme på hver side av likestillingen.
Vi begynner med å plassere alle ordene som inneholder "x" til venstre for likestillingen, og de som bare inneholder tall til høyre:
logg (5x + 1) - logg (2x-1) = 1
Til venstre har vi subtraksjon av to logaritmer, som kan skrives som logaritmen til et kvotient:
logg [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Til høyre er imidlertid tallet 1, som vi kan uttrykke som logg 10, som vi så tidligere. Deretter:
logg [(5x + 1) / (2x-1)] = logg 10
For at likestilling skal oppfylles, argumenter av logaritmene må være like:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
I 1957 skjedde et jordskjelv i Mexico med styrke 7,7 på Richter-skalaen. I 1960 skjedde et nytt jordskjelv av større styrke i Chile, på 9,5.
Beregn hvor mange ganger jordskjelvet i Chile var mer intenst enn det i Mexico, vel vitende om størrelsen MR på Richter-skalaen er den gitt av formelen:
MR = logg (104 JEG)
Størrelsen på Richters skala av et jordskjelv er en logaritmisk funksjon. Vi skal beregne intensiteten til hvert jordskjelv, siden vi har Richter-størrelsene. La oss gjøre det trinn for trinn:
-Mexico: 7,7 = logg (104 JEG)
Siden det motsatte av logaritmefunksjonen er det eksponentielle, bruker vi dette på begge sider av likheten med den hensikt å løse for I, som finnes i logaritmens argument..
Siden de er desimallogaritmer, er basen 10. Da:
10 7.7 = 104 Jeg
Intensiteten til jordskjelvet i Mexico var:
JegM = 10 7.7 / 104 = 103.7
-chili: 9,5 = logg (104 JEG)
Den samme prosedyren tar oss til intensiteten av det chilenske jordskjelvet jegCh:
JegCh = 10 9.5 / 104 = 105.5
Nå kan vi sammenligne begge intensitetene:
JegCh / JEGM = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
JegCh = 63,1. JegM
Jordskjelvet i Chile var omtrent 63 ganger mer intenst enn det i Mexico. Siden størrelsen er logaritmisk, vokser den saktere enn intensiteten, så en forskjell på 1 i størrelsen betyr en 10 ganger større amplitude av den seismiske bølgen.
Forskjellen mellom størrelsen på begge jordskjelv er 1,8, derfor kan vi forvente en forskjell i intensiteter nærmere 100 enn til 10, slik det faktisk skjedde..
Faktisk, hvis forskjellen hadde vært nøyaktig 2, ville det chilenske jordskjelvet vært 100 ganger mer intenst enn det meksikanske..
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.