De Euler nummer eller e nummer er en velkjent matematisk konstant som ofte vises i mange vitenskapelige og økonomiske anvendelser, sammen med tallet π og andre viktige tall i matematikk.
En vitenskapelig kalkulator returnerer følgende verdi for tallet e:
e = 2,718281828 ...
Men mange flere desimaler er kjent, for eksempel:
e = 2.71828182845904523536 ...
Og moderne datamaskiner har funnet billioner av desimaler for tallet e.
Det er et tall irrasjonell, som betyr at den har et uendelig antall desimaler uten noe gjentatt mønster (sekvensen 1828 vises to ganger i begynnelsen og gjentar seg ikke lenger).
Og det betyr også at tallet e ikke kan oppnås som kvotienten for to hele tall.
Artikkelindeks
Antallet og Det ble identifisert av forskeren Jacques Bernoulli i 1683 da han studerte problemet med sammensatt interesse, men tidligere hadde det vist seg indirekte i verkene til den skotske matematikeren John Napier, som oppfant logaritmer rundt 1618.
Imidlertid var det Leonhard Euler i 1727 som ga det navnet e nummer og studerte dets egenskaper intensivt. Derfor er det også kjent som Euler nummer og også som en naturlig base for de naturlige logaritmene (en eksponent) som for tiden brukes.
Nummeret e er verdt:
e = 2.71828182845904523536 ...
Ellipsen betyr at det er et uendelig antall desimaler, og faktisk, med dagens datamaskiner, er millioner av dem kjent.
Det er flere måter å definere e som vi beskriver nedenfor:
En av de forskjellige måtene tallet e uttrykkes på, er den som forskeren Bernoulli fant i sine arbeider på sammensatt interesse:
I hvilken du må gjøre verdien n et veldig stort antall.
Det er enkelt å sjekke, ved hjelp av en kalkulator, at når n er veldig stort, har det forrige uttrykket en tendens til verdien av og gitt ovenfor.
Klart vi kan lure på hvor stor den kan bli n, så la oss prøve runde tall, som disse for eksempel:
n = 1000; 10.000 eller 100.000
I det første tilfellet får vi e = 2.7169239…. I det andre e = 2.7181459 ... og i det tredje er det mye nærmere verdien av og: 2.7182682. Vi kan allerede finne ut at med n = 1.000.000 eller større vil tilnærmingen bli enda bedre.
I matematisk språk, fremgangsmåten for å lage n kommer nærmere og nærmere en veldig stor verdi, heter det grense til uendelig og er betegnet slik:
For å betegne uendelig brukes symbolet "∞".
Det er også mulig å definere tallet e gjennom denne operasjonen:
Tallene som vises i nevneren: 1, 2, 6, 24, 120 ... tilsvarer operasjonen n!, hvor:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
Og per definisjon 0! = 1.
Det er lett å verifisere at jo flere tilføyelser som legges til, desto mer presist blir antallet nådd og.
La oss gjøre noen tester med kalkulatoren, og legge til flere og flere tillegg:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Jo flere vilkår som legges til summeringen, jo mer ser resultatet ut og.
Matematikere kom med en kompakt notasjon for disse summene som involverte mange termer, ved hjelp av summeringssymbolet Σ:
Dette uttrykket leses slik "sum fra n = 0 til uendelig 1 mellom n faktor".
Tallet e har en grafisk fremstilling relatert til området under kurven:
y = 1 / x
Når verdiene på x er mellom 1 og e, er dette området lik 1, som illustrert i følgende figur:
Noen av egenskapene til tallet e er:
-Det er irrasjonelt, med andre ord, det kan ikke oppnås bare ved å dele to hele tall.
-Antallet og det er også en transcendent nummer, hva betyr det og er ikke en løsning av noen polynomligning.
-Det er relatert til fire andre kjente tall innen matematikk, nemlig: π, i, 1 og 0, gjennom Euler-identiteten:
ogπi + 1 = 0
-Samtalene komplekse tall kan uttrykkes gjennom e.
-Den danner grunnlaget for dagens naturlige eller naturlige logaritmer (John Napiers opprinnelige definisjon skiller seg noe ut).
-Det er det eneste tallet slik at dets naturlige logaritme er lik 1, det vil si:
ln e = 1
Nummeret e vises veldig ofte innen sannsynlighet og statistikk, og vises i forskjellige distribusjoner, for eksempel normal eller gaussisk, Poisson og andre..
I ingeniørfag er det vanlig, siden den eksponensielle funksjonen y = ex den er til stede i mekanikk og elektromagnetisme, for eksempel. Blant de mange applikasjonene kan vi nevne:
-En kabel eller kjetting som henger i endene, vedtar formen på kurven gitt av:
y = (ex + og-x) / to
-En opprinnelig utladet kondensator C, som er koblet i serie til en motstand R og en spenningskilde V for å lade, får en viss ladning Q som en funksjon av tiden t gitt av:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
Den eksponensielle funksjonen y = A.eBx, med konstant A og B brukes den til å modellere cellevekst og bakterievekst.
I kjernefysikk er radioaktivt forfall og aldersbestemmelse modellert av radiokarbondatering.
Ved beregning av sammensatt rente oppstår tallet e naturlig.
Anta at du har en viss sum penger Peller, å investere den til en rente på i% per år.
Hvis du legger igjen pengene i 1 år, vil du etter den tiden ha:
P (1 år) = Peller + Peller.i = Peller (1+ i)
Etter nok et år uten å berøre det, vil du ha:
P (2 år) = Peller + Peller.i + (seller + Peller .i) i = Peller +2 seller.i + Peller.Jegto = Po (1 + i)to
Og fortsetter på denne måten av n år:
P = Peller (1 + i)n
La oss nå huske en av definisjonene av e:
Det ser litt ut som uttrykket for P, så det må være et forhold.
Vi skal fordele den nominelle renten Jeg på n tidsperioder, på denne måten vil den sammensatte renten være i / n:
P = Peller [1+ (i / n)]n
Dette uttrykket ser litt mer ut som vår grense, men det er fortsatt ikke akkurat det samme.
Men etter noen algebraiske manipulasjoner kan det vises at ved å gjøre denne endringen av variabelen:
h = n / i → i = n / h
Våre penger P blir:
P = Peller [1+ (1 / t)]hei = Peller [1+ (1 / t)]hJeg
Og hva som er mellom tastene, selv om det er skrevet med bokstaven h, er lik argumentet for grensen som definerer tallet e, mangler bare å ta grensen.
La oss gjøre h → ∞, og det som er mellom de krøllete bukkene blir tallet og. Dette betyr ikke at vi må vente uendelig lenge på å ta ut pengene våre.
Hvis vi ser nøye på, når vi gjør det h = n / i og pleier å ∞, det vi faktisk har gjort er å fordele renten i veldig, veldig små tidsperioder:
i = n / t
Dette kalles kontinuerlig sammensetting. I et slikt tilfelle beregnes mengden penger slik:
P = Peller .ogJeg
Hvor jeg er den årlige renten. For eksempel når du setter inn € 12 med 9% per år, gjennom kontinuerlig kapitalisering, etter ett år har du:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Med en gevinst på 1,13 €.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.