EN permutasjon uten repetisjon av n elementer er de forskjellige gruppene av forskjellige elementer som kan oppnås ved ikke å gjenta noe element, bare variere rekkefølgen på plasseringen av elementene.
For å finne ut antall permutasjoner uten repetisjon, brukes følgende formel:
Pn = n!
Som utvidet ville være Pn = n! = N (n - 1) (n - 2) ... (2) (1).
Så i det forrige praktiske eksemplet vil det bli brukt som følger:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige firesifrede tall.
Dette er de 24 gruppene totalt: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Som det kan sees, er det ingen repetisjon i alle fall, det er 24 forskjellige tall.
Artikkelindeks
Vi skal analysere mer spesifikt eksemplet på de 24 forskjellige firesifrede ordningene som kan dannes med sifrene til tallet 2468. Antall ordninger (24) kan være kjent som følger:
Du har fire alternativer for å velge det første sifferet, som etterlater tre alternativer for å velge det andre sifferet. To sifre er allerede angitt, og det gjenstår to alternativer for valg av tredje siffer. Det siste sifferet har bare ett valgalternativ.
Derfor oppnås antall permutasjoner, betegnet med P4, av produktet av valgalternativene i hver posisjon:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige firesifrede tall
Generelt er antall permutasjoner eller forskjellige arrangementer som kan utføres med alle n-elementene i et gitt sett:
Pn = n! = N (n - 1) (n - 2) ... (2) (1)
Uttrykket n! er kjent som n faktor og betyr produktet av alle naturlige tall som ligger mellom tallet n og nummer én, inkludert begge.
Anta nå at du vil vite antall permutasjoner eller to-sifrede tall som kan dannes med sifrene til tallet 2468.
Dette vil være 12 arrangementer totalt: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Du har fire alternativer for å velge det første sifferet, som etterlater tre sifre for å velge det andre sifferet. Derfor oppnås antall permutasjoner av de 4 sifrene tatt to og to, betegnet med 4P2, med produktet av valgalternativene i hver posisjon:
4P2 = 4 * 3 = 12 forskjellige 2-sifrede tall
Generelt er antall permutasjoner eller forskjellige arrangementer som kan utføres med r-elementer av n totalt i et gitt sett:
nPr = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)]
Ovennevnte uttrykk blir avkortet før du spiller n!. For å fullføre n! fra det skal vi skrive:
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1)
Faktorene som vi legger til representerer i sin tur en faktor:
(n - r) ... (2) (1) = (n - r)!
Derfor,
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r)!
Herfra
n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] = nPr
Hvor mange forskjellige bokstavkombinasjoner med 5 bokstaver kan konstrueres med bokstavene i ordet KEY??
Vi ønsker å finne antall forskjellige bokstaver på 5 bokstaver som kan konstrueres med de 5 bokstavene i ordet KEY; det vil si antall 5-bokstavsarrayer som involverer alle bokstavene som er tilgjengelige i ordet KEY.
Antall ord på 5 bokstaver = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskjellige 5-bokstavskombinasjoner.
Disse vil være: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... opptil 120 forskjellige bokstavkombinasjoner totalt.
Du har 15 nummererte baller, og du vil vite hvor mange forskjellige grupper på 3 baller som kan bygges med de 15 nummererte ballene?
Du vil finne antall grupper på 3 kuler som kan lages med de 15 nummererte kulene.
Antall grupper på 3 kuler = 15P3 = 15! / (15 - 3)!
Antall grupper på 3 kuler = 15 * 14 * 13 = 2730 grupper på 3 kuler
En fruktbutikk har en utstillingsstand som består av en rad med rom som ligger i entreen til lokalene. På en dag kjøper grønnsakshandleren til salgs: appelsiner, bananer, ananas, pærer og epler.
a) Hvor mange forskjellige måter har du for å bestille utstillingsstanden?
b) Hvor mange forskjellige måter har du å bestille standen hvis, i tillegg til de nevnte fruktene (5), du fikk den dagen: mango, fersken, jordbær og druer (4)?
a) Vi vil finne antall forskjellige måter å bestille alle fruktene i utstillingsraden; det vil si antall ordninger med 5 fruktvarer som involverer alle fruktene som er tilgjengelige for salg den dagen.
Antall stativarrangementer = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antall standarrangementer = 120 måter å presentere standen på
b) Vi vil finne antall forskjellige måter å bestille alle fruktene i utstillingsraden hvis det ble lagt til ytterligere 4 gjenstander; det vil si antall ordninger med 9 fruktvarer som involverer alle fruktene som er tilgjengelige for salg den dagen.
Antall standarrangementer = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antall standarrangementer = 362880 måter å presentere standen på
Et lite matuttak har en tomt med nok plass til å parkere 6 kjøretøyer.
a) Hvor mange forskjellige måter å bestille kjøretøyene på tomten kan velges?
b) Anta at det anskaffes en sammenhengende tomt hvis dimensjoner tillater å parkere 10 kjøretøy, hvor mange forskjellige måter å bestille kjøretøyene kan velges nå?
a) Vi ønsker å finne antall forskjellige måter å bestille på tomten de 6 kjøretøyene som kan huse.
Antall ordninger for de 6 kjøretøyene = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antall ordninger for de 6 kjøretøyene = 720 forskjellige måter å bestille de 6 kjøretøyene på tomten.
b) Vi vil finne antall forskjellige måter å bestille på tomten på de 10 kjøretøyene som kan huse etter utvidelsen av tomten.
Antall ordninger for de 10 kjøretøyene = P10 = 10!
Antall kjøretøyoppsett = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Antall ordninger for de 10 kjøretøyene = 3,628,800 forskjellige måter å bestille de 10 kjøretøyene på tomten.
En blomsterhandler har blomster i 6 forskjellige farger for å lage blomsterflagg fra nasjoner som bare har 3 farger. Hvis det er kjent at rekkefølgen på fargene er viktig i flaggene,
a) Hvor mange forskjellige flagg med 3 farger kan lages med de 6 tilgjengelige fargene?
b) Selgeren kjøper blomster i 2 ekstra farger til de 6 han allerede hadde, nå hvor mange forskjellige flagg i 3 farger som kan lages?
c) Siden du har 8 farger, bestemmer du deg for å utvide tilbudet av flagg, hvor mange forskjellige flagg med 4 farger kan du lage?
d) Hvor mange av to farger?
a) Vi ønsker å finne antall forskjellige flagg i 3 farger som kan lages ved å velge blant de 6 tilgjengelige fargene.
Antall 3-fargede flagg = 6P3 = 6! / (6-3)!
Antall 3-fargede flagg = 6 * 5 * 4 = 120 flagg
b) Du vil finne antall forskjellige flagg i 3 farger som kan lages ved å velge blant de 8 tilgjengelige fargene.
Antall 3-fargede flagg = 8P3 = 8! / (8-3)!
Antall 3-fargede flagg = 8 * 7 * 6 = 336 flagg
c) Antall forskjellige 4-farges flagg som kan lages ved å velge blant de 8 tilgjengelige fargene må beregnes.
Antall 4-fargede flagg = 8P4 = 8! / (8-4)!
Antall 4-fargede flagg = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flagg
d) Du vil bestemme antall forskjellige flagg med 2 farger som kan lages ved å velge blant de 8 tilgjengelige fargene.
Antall 2-fargede flagg = 8P2 = 8! / (8 - 2)!
Antall 2-fargede flagg = 8 * 7 = 56 flagg
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.