De teoretisk sannsynlighet (eller Laplace) at en hendelse E inntreffer som tilhører et prøverom S, der alle hendelser har samme sannsynlighet for forekomst, er definert i matematisk notasjon som: P (E) = n (E) / N (S)
Der P (E) er sannsynligheten gitt som kvotienten mellom det totale antallet mulige utfall av hendelsen E, som vi kaller n (E), delt på totalt antall N (S) av mulige utfall i prøveområdet S.
Den teoretiske sannsynligheten er et reelt tall mellom 0 og 1, men det uttrykkes ofte som en prosentandel, i hvilket tilfelle sannsynligheten vil være en verdi mellom 0% og 100%.
Å beregne sannsynligheten for en hendelse er veldig viktig i mange felt, for eksempel handel, forsikringsselskaper, pengespill og mange flere..
Artikkelindeks
Et illustrerende tilfelle er tilfellet med tombolaer eller lotterier. Anta at det blir utstedt 1000 billetter for å lodde en smarttelefon. Ettersom loddtrekningen skjer tilfeldig, har alle billettene like stor sjanse til å bli en vinner.
For å finne sannsynligheten for at en person som kjøper en billett med nummer 81 er en vinner, er følgende beregning av teoretisk sannsynlighet:
P (1) = 1/1000 = 0,001 = 0,1%
Det forrige resultatet tolkes som følger: hvis trekningen ble gjentatt uendelig mange ganger, ville hver 1000 ganger billett 81 blitt valgt i gjennomsnitt en gang.
Hvis noen av en eller annen grunn skaffer seg alle billettene, er det sikkert at de vil vinne prisen. Sannsynligheten for å vinne prisen hvis du har alle billettene beregnes som følger:
P (1000) = 1000/1000 = 1 = 100%.
Det vil si at sannsynlighet 1 eller 100% betyr at det er helt sikkert at dette resultatet vil oppstå..
Hvis noen eier 500 billetter, er sjansen for å vinne eller tape den samme. Den teoretiske sannsynligheten for å vinne prisen i dette tilfellet beregnes som følger:
P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.
Den som ikke kjøper billett, har ingen sjanse til å vinne, og hans teoretiske sannsynlighet bestemmes som følger:
P (0) = 0/1000 = 0 = 0%
Du har en mynt med dyrt på den ene siden og skjold eller stempel på den andre. Når mynten kastes, hva er den teoretiske sannsynligheten for at den kommer opp i hodet??
P (dyrt) = n (dyrt) / N ( ansikt + skjold ) = ½ = 0,5 = 50%
Resultatet tolkes som følger: Hvis det ble laget et stort antall kast, ville en av dem i gjennomsnitt hver 2. kast komme i hodet.
Prosentvis er tolkningen av resultatet at det å utføre et uendelig stort antall kast, i gjennomsnitt av 100 av dem 50 vil resultere i hoder.
I en boks er det 3 blå kuler, 2 røde kuler og 1 grønne. Hva er den teoretiske sannsynligheten for at når du tar en marmor ut av esken, vil den være rød?
Sannsynligheten for at den kommer rødt er:
P (rød) = Antall gunstige saker / Antall mulige saker
Nemlig:
P (rød) = Antall røde kuler / Totalt antall kuler
Endelig er sannsynligheten for at en rød marmor er tegnet:
P (rød) = 2/6 = ⅓ = 0,33333 = 33,33%
Mens sannsynligheten for at når du tegner en grønn marmor er:
P (grønn) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%
Til slutt er den teoretiske sannsynligheten for å oppnå en blå marmor i en blind ekstraksjon:
P (blå) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%
Det vil si at for hvert 2. forsøk vil resultatet være blått i ett av dem og en annen farge i et nytt forsøk, under forutsetningen om at den ekstraherte marmoren erstattes, og at antall forsøk er veldig, veldig stort..
Bestem sannsynligheten for at når du ruller en dyse, oppnås en verdi som er mindre enn eller lik 4.
For å beregne sannsynligheten for at denne hendelsen skal forekomme, vil definisjonen av teoretisk sannsynlighet brukes:
P (≤4) = Antall gunstige tilfeller / Antall mulige tilfeller
P (≤5) = 5/6 = = 83,33%
Finn sannsynligheten for at på to påfølgende kast av en vanlig seks-sidet terning, vil 5 rulle 2 ganger.
For å svare på denne øvelsen er det praktisk å lage et bord for å vise alle mulighetene. Det første sifferet indikerer resultatet av den første døen og det andre resultatet av den andre.
For å beregne den teoretiske sannsynligheten trenger vi å vite det totale antallet mulige tilfeller, i dette tilfellet, som det fremgår av forrige tabell, er det 36 muligheter.
Ved å observere tabellen kan det trekkes ut at antall tilfeller som er gunstige for hendelsen som i de to påfølgende lanseringene 5 er bare 1, uthevet med farge, og sannsynligheten for at denne hendelsen inntreffer er derfor:
P (5 x 5) = 1/36.
Dette resultatet kunne også ha blitt nådd ved hjelp av en av egenskapene til teoretisk sannsynlighet, som sier at den kombinerte sannsynligheten for to uavhengige hendelser er et produkt av deres individuelle sannsynlighet..
I dette tilfellet er sannsynligheten for at det første kastet vil rulle 5 ⅙. Det andre kastet er helt uavhengig av det første, derfor er sannsynligheten for at 5 rulles i det andre også ⅙. Så den kombinerte sannsynligheten er:
P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.
Finn sannsynligheten for at et nummer mindre enn 2 vil bli rullet på første kast og et tall større enn 2 vil bli rullet på det andre.
Igjen må det bygges en tabell over mulige hendelser, der de der første kast var mindre enn 2 og i det andre større enn 2 er uthevet..
Totalt er det fire muligheter av totalt 36. Det vil si at sannsynligheten for denne hendelsen er:
P (<2 ; >2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%
Ved bruk av sannsynlighetsteorien som sier:
Sannsynligheten for forekomst av to uavhengige hendelser er lik produktet av de enkelte sannsynlighetene.
Samme resultat oppnås:
P (<2) P(>2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%
Verdien oppnådd med denne prosedyren sammenfaller med det forrige resultatet, gjennom den teoretiske eller klassiske definisjonen av sannsynlighet.
Hva er sannsynligheten for at når du kaster to terninger er summen av verdiene 7.
For å finne løsningen i dette tilfellet er det laget en tabell over muligheter der tilfellene som oppfyller vilkåret om at summen av verdiene er 7, er indikert i farger.
Ser vi på tabellen, kan 6 mulige tilfeller telles, så sannsynligheten er:
P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.