EN polytropisk prosess er en termodynamisk prosess som oppstår når forholdet mellom trykket P og volumet V gitt av P.Vn det forblir konstant. Eksponenten n er et reelt tall, vanligvis mellom null og uendelig, men i noen tilfeller kan det være negativt.
Verdien av n mottar navnet på polytropiindeks og det er viktig å markere at under en polytrop termodynamisk prosess skal indeksen opprettholde en fast verdi, ellers vil ikke prosessen bli betraktet som polytropisk.
Artikkelindeks
Noen karakteristiske tilfeller av polytropiske prosesser er:
- Den isotermiske prosessen (ved konstant temperatur T), hvor eksponenten er n = 1.
- En isobar prosess (ved konstant trykk P), i dette tilfellet n = 0.
- Den isokoriske prosessen (ved konstant volum V), for hvilken n = + ∞.
- Adiabatiske prosesser (ved konstant S entropi), hvor eksponenten er n = γ, der γ er den adiabatiske konstanten. Denne konstanten er kvotienten mellom varmekapasiteten ved konstant trykk Cp delt på varmekapasiteten ved konstant volum Cv:
γ = Cp / Cv
- Enhver annen termodynamisk prosess som ikke er en av de tidligere tilfellene. men det stemmer overens P.Vn = ctte med reell og konstant polytropisk indeks n det vil også være en polytropisk prosess.
En av de viktigste anvendelsene av den polytropiske ligningen er å beregne arbeidet utført av et lukket termodynamisk system, når det går fra en utgangsstatus til en endelig tilstand på en kvasistatisk måte, det vil si etter en rekke av likevektstilstander.
Det mekaniske arbeidet W utført av et lukket termodynamisk system beregnes av uttrykket:
W = ∫P.dV
Hvor P er trykket og V volumet.
Som i tilfellet med en polytropisk prosess, er forholdet mellom trykk og volum:
P.V n = konstant = C
Løsning for P fra forrige uttrykk for å erstatte det i arbeidsuttrykket:
P = C /V n
Vi har det mekaniske arbeidet utført under en polytropisk prosess, som begynner i en innledende tilstand 1 og ender i den endelige tilstanden 2. Alt dette vises i følgende uttrykk:
C = P1 V1n = Pto Vton
Ved å erstatte verdien av konstanten i arbeidsuttrykket får vi:
W = (sto Vto - P1 V1) / (1-n)
I tilfelle at arbeidsstoffet kan modelleres som en ideell gass, har vi følgende tilstandsligning:
P.V = m.R.T
Hvor m er antall mol av den ideelle gassen og R er den universelle gasskonstanten.
For en ideell gass som følger en polytropisk prosess med en polytropiindeks som er forskjellig fra enhet og som går fra en tilstand med starttemperatur T1 til en annen tilstand med temperatur Tto vi har at utført arbeid er gitt av følgende formel:
W = m R (Tto - T1) / (1-n)
I henhold til formelen for arbeidet oppnådd i forrige avsnitt, har vi at arbeidet til en polytropisk prosess med n = ∞ er null, fordi uttrykket for verket er delt på uendelig, og resultatet har derfor en tendens til null.
En annen måte å komme til dette resultatet er fra forholdet P1 V1n = Pto Vton, som kan skrives om som følger:
(S1/ Pto) = (V.to/ V1)n
Tar vi den nte roten i hvert medlem, får vi:
(Vto/ V1) = (P1/ Pto)(1 / n)
I tilfelle at n → ∞ har vi (Vto/ V1) = 1, som betyr at:
Vto = V1
Det vil si at volumet ikke endres i en polytropisk prosess med n → ∞. Derfor er volumdifferensialen dV i integrert mekanisk arbeid 0. Disse typer polytropiske prosesser er også kjent som prosesser isokorisk, eller prosesser med konstant volum.
Igjen har vi uttrykket uttrykk for arbeid:
W = ∫P dV
Når det gjelder en polytropisk prosess med n = 1, er forholdet mellom trykk og volum:
P V = konstant = C
Ved å løse for P fra forrige uttrykk og erstatte, har vi arbeidet gjort for å gå fra starttilstand 1 til slutttilstand 2:
Nemlig:
W = C ln (Vto/ V1).
Ettersom de innledende og endelige tilstandene er godt bestemt, vil også ctte. Nemlig:
C = P1 V1 = Pto Vto
Til slutt har vi følgende nyttige uttrykk for å finne det mekaniske arbeidet til et polytropisk lukket system der n = 1.
W = P1 V1 ln (Vto/ V1) = Pto Vto ln (Vto/ V1)
Hvis arbeidsstoffet består av m mol idealgass, så kan den ideelle gassligningen av tilstanden brukes: P V = m.R.T.
I dette tilfellet, som P.V1 = ctte, vi har at en polytropisk prosess med n = 1 er en prosess ved konstant temperatur T (isotermisk), slik at følgende uttrykk for arbeidet kan oppnås:
W = m R T1 ln (Vto/ V1) = m R Tto ln (Vto/ V1)
Anta at en sylinder med et bevegelig stempel fylt med ett kilo luft. Opprinnelig opptar luften et volum V1= 0,2 m3 ved et trykk P1= 400 kPa. En polytropisk prosess følges med n = γ = 1,4, hvis endelige tilstand har trykk Pto = 100 kPa. Bestem det arbeidet luften har gjort på stempelet.
Når polytropiindeksen er lik den adiabatiske konstanten, er det en prosess der arbeidsstoffet (luft) ikke bytter varme med omgivelsene, og derfor endres ikke entropien..
For luft, en diatomisk ideell gass, har vi:
γ = Cp / Cv, med Cp = (7/2) R og Cv = (5/2) R
Deretter:
γ = 7/5 = 1,4
Ved å bruke uttrykket for den polytropiske prosessen kan luftens endelige volum bestemmes:
Vto = [(Sto V11.4) / Sto](1 / 1.4) = 0,54 m3.
Nå har vi vilkårene for å anvende formelen for arbeid utført i en polytropisk prosess for n ≠ 1 oppnådd ovenfor:
W = (sto Vto - P1 V1) / (1-n)
Å erstatte de aktuelle verdiene vi har:
W = (100 kPa 0,54 m3 - 400 kPa 0,2 m3) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ
Anta den samme sylinderen fra eksempel 1, med et bevegelig stempel fylt med ett kilo luft. Opprinnelig opptar luften et volum V1 = 0,2 m3 ved et trykk P1 = 400 kPa. Men i motsetning til det forrige tilfellet ekspanderer luften isotermisk for å nå et sluttrykk P2 = 100 kPa. Bestem det arbeidet luften har gjort på stempelet.
Som tidligere sett er isotermiske prosesser polytropiske prosesser med indeks n = 1, så det er sant at:
P1 V1 = P2 V2
På denne måten kan det endelige volumet lett skrelles av for å oppnå:
V2 = 0,8 m3
Deretter, ved å bruke arbeidsuttrykket oppnådd tidligere for saken n = 1, har vi at arbeidet utført av luften på stempelet i denne prosessen er:
W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m3 ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.