De Laplace transform De siste årene har det vært av stor betydning i ingeniør-, matematikk- og fysikkstudier, blant andre vitenskapelige områder, siden det i tillegg til å være av stor teoretisk interesse, gir en enkel måte å løse problemer som kommer fra vitenskap og ingeniørfag..
Opprinnelig ble Laplace-transformasjonen presentert av Pierre-Simón Laplace i sin studie om sannsynlighetsteori og ble opprinnelig behandlet som et matematisk objekt av rent teoretisk interesse..
Nåværende applikasjoner oppstår når forskjellige matematikere prøvde å gi en formell begrunnelse for de "operasjonelle reglene" som ble brukt av Heaviside i studiet av ligninger av elektromagnetisk teori..
Artikkelindeks
La f være en funksjon definert for t ≥ 0. Laplace-transformasjonen er definert som følger:
Laplace-transformasjonen sies å eksistere hvis den forrige integralen konvergerer, ellers sies det at Laplace-transformasjonen ikke eksisterer.
Generelt brukes små bokstaver for å betegne funksjonen som skal transformeres, og store bokstaver tilsvarer transformasjonen. På denne måten vil vi ha:
Tenk på den konstante funksjonen f (t) = 1. Vi har at transformasjonen er:
Hver gang integralen konvergerer, det vil si når som helst s> 0. Ellers er s < 0, la integral diverge.
La g (t) = t. Laplace-transformasjonen er gitt av
Ved å integrere med deler og vite at du-St. har en tendens til 0 når den har en tendens til uendelig og s> 0, sammen med forrige eksempel har vi:
Transformasjonen kan eksistere eller ikke, for eksempel for funksjonen f (t) = 1 / t integralen som definerer Laplace-transformasjonen ikke konvergerer og derfor eksisterer transformasjonen ikke.
Tilstrekkelige betingelser for å garantere at Laplace-transformasjonen av en funksjon f eksisterer er at f er kontinuerlig i deler for t ≥ 0 og er av eksponensiell orden.
En funksjon sies å være stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, når det for et hvilket som helst intervall [a, b] med a> 0 er det et endelig antall punkter tk, hvor f har diskontinuiteter og er kontinuerlig i hvert delintervall [tk-1,tk].
På den annen side sies det at en funksjon er av eksponensiell orden c hvis det er reelle konstanter M> 0, c og T> 0 slik at:
Som eksempler har vi at f (t) = tto er av eksponentiell orden, siden | tto| < e3t for alle t> 0.
På en formell måte har vi følgende setning
Hvis f er en delkontinuerlig funksjon for t> 0 og av eksponensiell rekkefølge c, eksisterer det Laplace-transformasjonen for s> c.
Det er viktig å merke seg at dette er en betingelse for tilstrekkelighet, det vil si at det kan være tilfelle at det er en funksjon som ikke oppfyller disse betingelsene, og likevel eksisterer Laplace-transformasjonen.
Et eksempel på dette er funksjonen f (t) = t-1/2 som ikke er kontinuerlig kontinuerlig for t ≥ 0, men Laplace-transformasjonen eksisterer.
Tabellen nedenfor viser Laplace-transformasjoner av de vanligste funksjonene.
Laplace-transformasjonen skylder navnet til Pierre-Simon Laplace, en fransk matematiker og teoretisk astronom som ble født i 1749 og døde i 1827. Hans berømmelse var slik at han ble kjent som Newton i Frankrike.
I 1744 viet Leonard Euler sine studier til integraler med skjemaet
som løsninger på vanlige differensiallikninger, men han forlot raskt denne undersøkelsen. Senere, Joseph Louis Lagrange, som sterkt beundret Euler, undersøkte også denne typen integraler og knyttet dem til sannsynlighetsteori.
I 1782 begynte Laplace å studere disse integralene som løsninger på differensialligninger, og ifølge historikere bestemte han seg for i 1785 å omformulere problemet, som senere ga opphav til Laplace-transformasjoner slik de er forstått i dag..
Etter å ha blitt introdusert i sannsynlighetsteorien, var det av liten interesse for datidens forskere og ble bare sett på som et matematisk objekt med kun teoretisk interesse..
Det var på midten av 1800-tallet da den engelske ingeniøren Oliver Heaviside oppdaget at differensialoperatører kan behandles som algebraiske variabler, og dermed gir Laplace forvandlet deres moderne applikasjon..
Oliver Heaviside var en engelsk fysiker, elektroingeniør og matematiker som ble født i London i 1850 og døde i 1925. Mens han prøvde å løse differensiallikningsproblemer som ble brukt på vibrasjonsteori og ved bruk av Laplaces studier, begynte han å forme de moderne anvendelsene av Laplace transforms..
Resultatene som ble presentert av Heaviside spredte seg raskt gjennom datidens vitenskapelige samfunn, men da hans arbeid ikke var grundig, ble han raskt kritisert av de mer tradisjonelle matematikerne..
Imidlertid gjorde nytten av Heavisides arbeid for å løse ligninger i fysikk hans metoder populære blant fysikere og ingeniører..
Til tross for disse tilbakeslagene og etter noen tiår med mislykkede forsøk, kunne det på begynnelsen av det 20. århundre gis en streng begrunnelse for de operative reglene gitt av Heaviside..
Disse forsøkene bar frukt takket være innsatsen fra forskjellige matematikere som Bromwich, Carson, van der Pol, blant andre..
Blant egenskapene til Laplace-transformasjonen skiller seg følgende ut:
La c1 og c2 være konstant og f (t) og g (t) funksjoner hvis Laplace-transformasjoner er henholdsvis F (s) og G (s), så har vi:
På grunn av denne egenskapen sies det at Laplace-transformasjonen er en lineær operator.
Eksempel
Hvis det skjer at:
Og 'a' er et hvilket som helst reelt tall, så:
Eksempel
Siden Laplace-transformasjonen av cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), da:
Ja
Deretter
Eksempel
Hvis f (t) = t ^ 3, så er F (s) = 6 / s ^ 4. Og derfor transformasjonen av
er G (s) = 6e-2s/ s ^ 4
Ja
Og 'a' er ikke-null, vi må
Eksempel
Siden transformasjonen av f (t) = sin (t) er F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) har vi
Hvis f, f ', f ",…, f(n) er kontinuerlige for t ≥ 0 og er av eksponentiell orden og f(n)(t) er stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, da
Ja
Deretter
Hvis vi må
Deretter
Hvis vi må
Deretter
La f være en periodisk funksjon med periode T> 0, det vil si f (t + T) = f (t), så
Hvis f er kontinuerlig i deler og i eksponentiell rekkefølge og
Deretter
Når vi bruker Laplace-transformasjonen til en funksjon f (t) får vi F (s), som representerer nevnte transformasjon. På samme måte kan vi si at f (t) er den inverse Laplace-transformasjonen av F (s) og er skrevet som
Vi vet at Laplace-transformasjonene av f (t) = 1 og g (t) = t er F (s) = 1 / s og G (s) = 1 / sto henholdsvis derfor må vi
Noen vanlige inverse Laplace-transformasjoner er som følger
Videre er den omvendte Laplace-transformasjonen lineær, det vil si at det er sant at
Finne
For å løse denne oppgaven må vi matche funksjonen F (e) med en av forrige tabell. I dette tilfellet, hvis vi tar n + 1 = 5 og bruker linearitetsegenskapen til den omvendte transformasjonen, multipliserer vi og deler med 4! Får
For den andre omvendte transformasjonen bruker vi delbrøker for å omskrive funksjonen F (s) og deretter egenskapen til linearitet, og oppnå
Som vi kan se fra disse eksemplene, er det vanlig at funksjonen F (e) som evalueres ikke samsvarer nøyaktig med noen av funksjonene gitt i tabellen. For disse tilfellene, som det kan sees, er det nok å omskrive funksjonen til den når riktig form.
Hovedapplikasjonen til Laplace-transformasjoner er å løse differensiallikninger.
Ved å bruke transformasjonsegenskapene til et derivat er det klart at
Og av n-1-derivatene evaluert til t = 0.
Denne egenskapen gjør transformasjonen veldig nyttig for å løse innledende verdiproblemer der differensiallikninger med konstante koeffisienter er involvert..
Følgende eksempler viser hvordan du bruker Laplace-transformasjonen til å løse differensiallikninger.
Gitt følgende innledende verdiproblem
Bruk Laplace-transformasjonen for å finne løsningen.
Vi bruker Laplace-transformasjonen til hvert medlem av differensiallikningen
Ved egenskapen til transformasjonen av et derivat vi har
Ved å utvikle alt uttrykk og fjerne Y (er) er vi igjen
Ved å bruke delvise brøker for å omskrive høyre side av ligningen vi får
Til slutt er målet vårt å finne en funksjon y (t) som tilfredsstiller differensiallikningen. Bruk av den omvendte Laplace-transformasjonen gir oss resultatet
Løse
Som i det forrige tilfellet, bruker vi transformasjonen på begge sider av ligningen og skiller ord for begrep.
På denne måten har vi som et resultat
Erstatte med de angitte startverdiene og løse Y (er)
Ved hjelp av enkle brøker kan vi omskrive ligningen som følger
Og å bruke den inverse Laplace-transformasjonen gir oss resultatet
I disse eksemplene kan du komme til feil konklusjon at denne metoden ikke er mye bedre enn tradisjonelle metoder for å løse differensiallikninger..
Fordelene med Laplace-transformasjonen er at du ikke trenger å bruke parametervariasjon eller bekymre deg for de forskjellige tilfellene av den ubestemte koeffisientmetoden..
I tillegg, når vi løser innledende verdiproblemer med denne metoden, bruker vi fra begynnelsen de innledende forholdene, så det er ikke nødvendig å utføre andre beregninger for å finne den aktuelle løsningen.
Laplace-transformasjonen kan også brukes til å finne løsninger på samtidige ordinære differensiallikninger, som følgende eksempel viser.
Finne ut av
Med startbetingelsene x (0) = 8 og y (0) = 3.
Hvis vi må
Deretter
Å løse gir oss som et resultat
Og bruke den omvendte Laplace-transformasjonen vi har
Laplace-transformasjonen er av stor betydning i fysikk, den har hovedsakelig applikasjoner for mekanikk og elektriske kretser.
En enkel elektrisk krets består av følgende elementer
En bryter, et batteri eller en kilde, en induktor, en motstand og en kondensator. Når bryteren er lukket produseres en elektrisk strøm som betegnes med i (t). Kondensatorladningen er betegnet med q (t).
Ved Kirchhoffs andre lov må spenningen produsert av kilden E til den lukkede kretsen være lik summen av hver av spenningsfallene.
Den elektriske strømmen i (t) er relatert til ladningen q (t) på kondensatoren med i = dq / dt. På den annen side er spenningsfallet i hvert av elementene definert som følger:
Spenningsfallet over en motstand er iR = R (dq / dt)
Spenningsfallet over en induktor er L (di / dt) = L (dtoq / dtto)
Spenningsfallet over en kondensator er q / C.
Med disse dataene og anvendelse av Kirchhoffs andre lov på den enkle lukkede kretsen, oppnås en andreordens differensialligning som beskriver systemet og lar oss bestemme verdien av q (t).
En induktor, en kondensator og en motstand er koblet til et batteri E, som vist på figuren. Induktoren er 2 henries, kondensatoren er 0,02 farads og motstanden er 16 ohm. På tidspunktet t = 0 er kretsen stengt. Finn ladningen og strømmen når som helst t> 0 hvis E = 300 volt.
Vi har at differensiallikningen som beskriver denne kretsen er følgende
Der startbetingelsene er q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).
Ved å bruke Laplace-transformasjonen får vi det
Og løse for Q (t)
Bruk deretter den omvendte Laplace-transformasjonen vi har
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.