Det forstås av regissørvektor en som definerer retningen på en linje, enten i flyet eller i rommet. Derfor kan en vektor parallell med linjen betraktes som en retningsvektor av den samme.
Dette er mulig takket være et aksiom av euklidisk geometri som sier at to punkter definerer en linje. Deretter definerer det orienterte segmentet dannet av disse to punktene også en regissørvektor av linjen.
Fikk et poeng P tilhører linjen (L) og gitt en regissørvektor eller av den linjen er linjen helt bestemt.
Artikkelindeks
Fikk et poeng P av koordinater Spørsmål: (Xo, I) og en vektor eller direktør for en straight (L), alt poeng Spørsmål av koordinater Spørsmål: (X, Y) må tilfredsstille at vektoren PQ være parallell med u. Denne siste tilstanden er garantert hvis PQ er proporsjonal med eller:
PQ = t⋅eller
i forrige uttrykk t er en parameter som hører til de reelle tallene.
Hvis de kartesiske komponentene i PQ og av eller Ovennevnte ligning er skrevet som følger:
(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)
Hvis komponentene i vektorlikhet utjevnes, har vi følgende ligningspar:
X - Xo = a⋅t Y Y - I = b⋅t
Koordinatene X og Y av et punkt på linjen (L) passerer gjennom et koordinatpunkt (Xo, I) og det er parallelt med regissørvektor eller= (a, b) bestemmes ved å tilordne reelle verdier til den variable parameteren t:
X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t
For å illustrere betydningen av linjens parametriske ligning tar vi som retningsvektor
eller = (a, b) = (2, -1)
og som et kjent punkt på linjen punktet
P = (Xo, I) = (1, 5).
Den parametriske ligningen på linjen er:
X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1t; -∞
For å illustrere betydningen av denne ligningen, er figur 3 vist, der parameteren t endres i verdi og punkt Spørsmål av koordinater (X, Y) ta forskjellige posisjoner på rett.
Gitt et punkt P på linjen og dens regissørvektor u, kan ligningen på linjen skrives i vektorform:
OQ = OP + λ⋅eller
I ovenstående ligning er Q et hvilket som helst punkt, men som tilhører linjen og λ et reelt tall.
Linjens vektorligning gjelder for et hvilket som helst antall dimensjoner, til og med en hyperlinje kan defineres.
I det tredimensjonale tilfellet for en regissørvektor eller= (a, b, c) og et poeng P = (Xo, Yo, Zo), koordinatene til et generisk punkt Q = (X, Y, Z) som tilhører linjen er:
(X OG Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)
Tenk igjen linjen som har som en retningsvektor
eller = (a, b) = (2, -1)
og som et kjent punkt på linjen punktet
P = (Xo, I) = (1, 5).
Vektorligningen til denne linjen er:
(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)
Med utgangspunkt i den parametriske skjemaet, rydding og likestilling av parameteren λ, har vi:
(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c
Dette er den symmetriske formen for linjens ligning. Jeg føler det til, b Y c er komponentene i regissørvektoren.
Tenk linjen som har som en retningsvektor
eller = (a, b) = (2, -1)
og som et kjent punkt på linjen punktet
P = (Xo, I) = (1, 5). Finn den symmetriske formen.
Den symmetriske eller kontinuerlige formen på linjen er:
(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)
Ligningen som har følgende struktur er kjent som den generelle formen for linjen i XY-planet:
A⋅X + B⋅Y = C
Uttrykket for den symmetriske formen kan skrives om til å ha den generelle formen:
b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo
sammenlignet med linjens generelle form er det:
A = b, B = -a og C = b⋅Xo - a⋅Yo
Finn den generelle formen på linjen hvis regissørvektor er u = (2, -1)
og som går gjennom punktet P = (1, 5).
For å finne den generelle formen kan vi bruke de gitte formlene, men en alternativ vei vil bli valgt.
Vi starter med å finne den doble vektoren w til regissørvektoren u, definert som den vektoren som oppnås ved å bytte ut komponentene til u og multiplisere den andre med -1:
w= (-1, -2)
den doble vektoren w tilsvarer en 90 ° rotasjon med klokken av regissørvektoren v.
Vi multipliserer skalert w med (X, Y) og med (Xo, I) og vi matcher:
(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X-2Y = -1 -2-5 = -11
gjenværende til slutt:
X + 2Y = 11
Det er kjent som standardformen for linjen i XY-planet, en som har følgende struktur:
Y = m⋅X + d
hvor m representerer skråningen og d skjæringspunktet med Y-aksen.
Gitt retningsvektoren u = (a, b), er hellingen m b / a.
Yd oppnås ved å erstatte X og Y med det kjente punktet Xo, I:
I = (b / a) Xo + d.
Kort sagt, m = b / a og d = I - (b / a) Xo
Merk at hellingen m er kvotienten mellom komponenten Y av regissørvektoren og komponenten x av det samme.
Finn standardformen på linjen hvis regissørvektor er u = (2, -1)
og som går gjennom punktet P = (1, 5).
m = -½ og d = 5 - (-½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) X + 11/2
Finn en regissørvektor for linjen (L) som er skjæringspunktet mellom planet (Π): X - Y + Z = 3 og planet (Ω): 2X + Y = 1.
Skriv deretter den kontinuerlige formen for linjens ligning (L).
Fra ligningen av planet (Ω) klaring Y: Y = 1-2X
Deretter erstatter vi i ligningen til planet (Π):
X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X
Deretter parameteriserer vi X, vi velger parameteriseringen X = λ
Dette betyr at linjen har en vektorligning gitt av:
(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
som kan skrives om som:
(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
som det er klart at vektoren eller = (1, -2, -3) er en retningsvektor for linjen (L).
Den kontinuerlige formen for linjen (L) er:
(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)
Gitt 5X-flyet + til Y + 4Z = 5
og linjen hvis ligning er X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)
Bestem verdien av til slik at flyet og linjen er parallelle.
Vektoren n = (5, a, 4) er en vektor som er normal i forhold til planet.
Vektoren eller = (1, 3, -2) er en regissørvektor for linjen.
Hvis linjen er parallell med planet, da n • v = 0.
(5, til, 4)•(1, 3, -2) = 5 +3til -8 = 0 ⇒ til= 1.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.