De ubestemt integral er den omvendte operasjonen av avledningen og for å betegne den brukes symbolet for den langstrakte "s": ∫. Matematisk skrives den ubestemte integralen til funksjonen F (x):
∫F (x) dx = f (x) + C.
Der integranden F (x) = f '(x) er en funksjon av variabelen x, som igjen er avledet av en annen funksjon f (x), kalt integral eller antiderivativ.
I sin tur er C en konstant kjent som konstant integrering, som alltid følger resultatet av hver ubestemt integral. Vi vil se opprinnelsen umiddelbart gjennom et eksempel.
Anta at vi blir bedt om å finne følgende ubestemt integral I:
Jeg = ∫x.dx
Umiddelbart identifiseres f '(x) med x. Det betyr at vi må gi en funksjon f (x) slik at dens derivat er x, noe som ikke er vanskelig:
f (x) = ½ xto
Vi vet at ved å differensiere f (x) får vi f '(x), sjekker vi det:
[½ xto] '= 2. (½ x) = x
Nå er funksjonen: f (x) = ½ xto + 2 tilfredsstiller også kravet, siden avledningen er lineær og derivatet av en konstant er 0. Andre funksjoner som når avledet gir f (x) = er:
½ xto -1, ½ xto + femten; ½ xto - √2 ...
Og generelt alle funksjonene i skjemaet:
f (x) = ½ xto + C
De er riktige svar på problemet.
Noen av disse funksjonene kalles antiderivativ eller primitiv av f '(x) = x, og det er nettopp dette settet av alle antiderivativer av en funksjon det som er kjent som ubestemt integral.
Det er nok å bare kjenne en av primitivene, for som man kan se, er den eneste forskjellen mellom dem konstant C av integrasjon.
Hvis problemet inneholder innledende forhold, er det mulig å beregne verdien av C for å passe dem (se det løste eksemplet nedenfor).
Artikkelindeks
I forrige eksempel ble ∫x.dx beregnet fordi det var kjent en funksjon f (x) som, når den ble avledet, resulterte i integrand.
Av denne grunn, fra de mest kjente funksjonene og deres derivater, kan grunnleggende integraler raskt løses.
I tillegg er det noen viktige egenskaper som utvider spekteret av muligheter når man løser en integral. Være k et reelt tall, så er det sant at:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4.- ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5.- ∫x -1 dx = ln x + C
Avhengig av integrand er det forskjellige algebraiske så vel som numeriske metoder for å løse integraler. Her nevner vi:
-Variabel endring
-Algebraiske og trigonometriske erstatninger.
-Integrering av deler
-Nedbrytning i enkle brøker for integrand av rasjonell type
-Bruke tabeller
-Numeriske metoder.
Det er integraler som kan løses ved mer enn én metode. Dessverre er det ikke noe enkelt kriterium for å bestemme på forhånd den mest effektive metoden for å løse en gitt integral.
Faktisk lar noen metoder deg nå løsningen på visse integraler raskere enn andre. Men sannheten er at for å skaffe deg ferdighetsløsningsintegraler må du øve på hver metode.
Finne ut av:
La oss gjøre en enkel variabelendring for den subradikale størrelsen:
u = x-3
Med:
x = u + 3
Å avlede begge sider i et av de to uttrykkene gir:
dx = du
Nå erstatter vi integralen, som vi vil betegne som jeg:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Vi bruker fordelingseiendom og multiplikasjon av krefter med like grunnlag, og vi oppnår:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
Etter eiendom 3 fra forrige seksjon:
Jeg = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Nå brukes eiendom 4, som er kjent som maktenes styre:
Du3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + C1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + Cto =
= 3 (2/3) u3/2 + Cto = 2u3/2 + Cto
Så blir resultatene satt sammen i I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
De to konstantene kan kombineres til en uten problemer. Til slutt, ikke glem å returnere endringen av variabelen som ble gjort før, og uttrykk resultatet i form av den opprinnelige variabelen x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
Det er mulig å faktorisere resultatet:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
Den ubestemte integralen gjelder mange modeller innen naturvitenskap og samfunnsvitenskap, for eksempel:
I løsningen på bevegelsesproblemer, å beregne hastigheten til en mobil, vite dens akselerasjon og i beregningen av posisjonen til en mobil, å vite hastigheten.
Når du for eksempel beregner produksjonskostnadene for varer og modellerer en behovsfunksjon.
Minimumshastigheten som kreves for at et objekt skal unnslippe jordens tyngdekraft, er gitt av:
I dette uttrykket:
-v er hastigheten på objektet som ønsker å rømme fra jorden
-y er avstanden målt fra sentrum av planeten
-M er landmassen
-G er konstant av tyngdekraften
Det blir bedt om å finne forholdet mellom v Y Y, løse de ubestemte integralene, hvis objektet får en starthastighet veller og jordens radius er kjent og kalles R.
Vi får presentert to ubestemte integraler som skal løses ved hjelp av integreringsreglene:
Jeg1 = ∫v dv = vto/ 2 + C1
Jegto = -GM ∫ (1 / yto) dy = -GM ∫ y-to dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + Cto = GM. Y-1 + Cto
Vi likestiller jeg1 og jegto:
vto/ 2 + C1 = GM. Y-1 + Cto
De to konstantene kan kombineres til en:
Når integralene er løst, bruker vi de innledende forholdene, som er følgende: når objektet er på jordens overflate, er det i en avstand R fra sentrum. I uttalelsen forteller de oss at y er avstanden målt fra midten av jorden.
Og bare å være på overflaten er at den får den opprinnelige hastigheten vo som den vil unnslippe fra gravitasjonstrekket på planeten. Derfor kan vi slå fast at v (R) = veller. I så fall hindrer ingenting oss i å erstatte denne tilstanden i det resultatet vi nettopp oppnådde:
Og siden veller er kjent, og det samme er G, M og R, vi kan løse verdien av konstanten av integrasjon C:
Som vi kan erstatte i resultatet av integralene:
Og til slutt fjerner vi vto, factoring og gruppering på riktig måte:
Dette er uttrykket som relaterer hastigheten v av en satellitt som har blitt avfyrt fra planetens overflate (med radius R) med starthastighet vo, når det er på avstand Y fra sentrum av planeten.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.