Biot-Savarts lovformel, demonstrasjon, applikasjoner, øvelser

De Biot-Savart lov etablerer et forhold mellom magnetfeltet dB  ved et punkt P, produsert av en tynn ledning som bærer en strøm I og hvis differensielle lengde er ds. Denne loven brukes til å finne magnetfeltet for strømfordelinger ved hjelp av superposisjonsprinsipp. 

Dette betyr at for å beregne det totale magnetfeltet ved punkt P, må vi legge til alle bidragene som hver differensiell del ds av ledningen bidrar. Og denne summen gjøres gjennom en integral utført over hele den nåværende fordelingen.

På denne måten kan feltet som produseres av strømførende ledninger i forskjellige geometrier beregnes..

Biot-Savart-loven er oppkalt etter de to franske fysikerne som oppdaget den i 1820: Jean Marie Biot (1774-1862) og Felix Savart (1791-1841). For å oppnå dette måtte de studere intensiteten og formen til magnetfeltet produsert av mange strømfordelinger..

Artikkelindeks

• 1 Formel
  • 1.1 Vektorproduktet og høyre regel
• 2 Bevis på Biot-Savarts lov
  • 2.1 Observasjoner av Biot og Savart
• 3 Anvendelser av Biot-Savart-loven
  • 3.1 Rett og tynn ledning
• 4 Øvelse løst
  • 4.1 Løsning
• 5 Referanser

Formel

Det matematiske uttrykket for Biot-Savart-loven er som følger:

Den opprettholder analogier med tilsvarende for å beregne det elektriske feltet: Coulombs lov, bare at magnetfeltet dB i P er vinkelrett til flyet der ledningen er. Vi kan se dette i figur 1.

Ovennevnte uttrykk kan også skrives som følger:

I begge uttrykkene, r er posisjonsvektoren, rettet fra det nåværende elementet Ids til det punktet hvor du vil beregne feltet.

For sin del, r med en oppskrift er enhetsvektoren som er rettet i samme retning og forstand, men med en modul lik 1. Vektoren r er representert slik:

I tillegg til de nevnte vektorene inneholder formelen konstanten μ_eller, anrop vakuumpermeabilitet og hvis verdi er:

μ_eller = 4π x10^-7 T.m / A.

Hvis vi vil beregne magnetfeltvektoren, er det nødvendig å integrere over hele strømfordelingen, som vi trenger data om dens geometri for:

Korsproduktet og høyrehåndsregelen

Biot-Savart-loven innebærer et vektorprodukt mellom vektorene Ids Y r. Resultatet av et vektorprodukt mellom to vektorer er også en vektor.

I dette tilfellet er modulen til vektorproduktet Ids x r er: (Ids) ⋅r⋅senθ, der θ er vinkelen mellom Ids Y r, som vist i figur 1.

På denne måten størrelsen på feltet dB er gitt av:

Retning og retning kan bestemmes med høyre håndregel, illustrert i denne figuren:

Vi inviterer leseren til å plassere høyre hånd etter vektorene i figur 1 og 2. For figur 1 skal pekefingeren peke mot venstre, etter Ids eller Idl, langfingeren peker i henhold til vektoren r enhetlig.

Og til slutt er tommelen rettet oppover, og dette er magnetfeltets retning.

Demonstrasjon av Biot-Savart-loven

Biot-Savart-loven er i høyeste grad eksperimentell, noe som betyr at dens formulering kommer fra mange observasjoner om oppførselen til magnetfeltet produsert av nåværende ledninger..

Observasjoner av Biot og Savart

Dette var observasjonene fra franske forskere om magnetfeltet dB:

-Størrelsen på dB er omvendt proporsjonal med r^to.

-Det er også direkte proporsjonalt med størrelsen på det nåværende elementet, som kalles Ids og også å synde θ, der θ er vinkelen mellom vektorene ds Y r.

-dB er vinkelrett på begge Ids -retningen på strømmen - som til r.

-Retningen til dB er tangensiell for en radiusomkrets r sentrert på ledningen. Med andre ord består feltet B produsert av et nåværende segment av sirkler konsentriske til ledningen.

-Slik det spinner B er gitt av regelen om høyre tommel: høyre tommel pekes i retning av strømmen og de fire gjenværende fingrene er viklet rundt ledningen, etter sirkulasjon av feltet.

Alle disse observasjonene er kombinert i det matematiske uttrykket for loven som tidligere er beskrevet.

Biot-Savart lovsøknader

Når den nåværende fordelingen har høy symmetri, kan integralen enkelt løses, la oss se noen tilfeller:

Rett og tynn ledning

En rettlinjet ledning med lengden L bærer en strøm I, som vist på figuren.

Det illustrerer geometrien som er nødvendig for å beregne feltet. Dette er vinkelrett på papiret, stikker ut fra planet hvis strømmen strømmer fra venstre til høyre, og kommer inn på annen måte (sjekk med høyre håndregel).

Være k  enhetsvektoren i retningen vinkelrett på planet, etter å ha utført integrasjonsprosessen, er magnetfeltet som ledningen produserer ved P:

Den sirkulære radiusen til bærer en strøm som vist på figuren og produserer et magnetfelt dB -i mørk grønn- på punkt P på aksialaksen, på avstand x fra sentrum.

Et annet nåværende element som ligger på motsatt side, vil gi et nytt bidrag til feltet dB (lysegrønn), slik at den vertikale komponenten avbrytes med den første.

Resultatet er at nettomagnetfeltet er horisontalt, så det integreres bare på disse komponentene, noe som resulterer i:

Treningen løst

Du har en ekstremt lang ledning som har en strøm på 2A som strømmer som vist på bildet. Beregn størrelsen på magnetfeltet i en radiell avstand på 5 cm fra ledningen.

Løsning

Siden det er en veldig lang ledning, kan vi ta uttrykket for det rettlinjede segmentet og lage θ₁= 0º og θ_to = 180º for grensevinklene. Dette er nok slik at ledningens lengde har en tendens til uendelig..

På denne måten vil vi ha feltet er:

Nå erstatter vi uttalelsene:

Jeg = 2 A.

r = 5 x 10^-to m

μ_eller= 4π x10^-7 T.m / A

Referanser

1. Bauer, W. 2011. Fysikk for ingeniørfag og vitenskap. Volum 1. Mc Graw Hill.
2. Figueroa, D. 2005. Serie: Physics for Sciences and Engineering. Volum 6. Elektromagnetisme. Redigert av Douglas Figueroa (USB).
3. Giancoli, D. 2006. Fysikk: prinsipper med applikasjoner. Sjette. Ed prentice hall.
4. Resnick, R. 1999. Fysikk. Vol. 1. 3. utgave på spansk. Compañía Editorial Continental S.A. av C.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysikk med moderne fysikk. 14. Red. Bind 1.
6. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Volum 2. 7.. Ed. Cengage Learning.