De omtrentlig måling av amorfe figurer består av en serie metoder som brukes til å bestemme arealet eller omkretsen av geometriske figurer som ikke er trekanter, firkanter, sirkler osv. Noen kan utvides til tredimensjonale figurer.
I utgangspunktet består målingen av å lage et rutenett av en eller annen vanlig form, som rektangler, firkanter eller trapeser, som tilnærmet dekker overflaten. Presisjonen til areantilnærmingen oppnådd ved disse metodene øker med finheten eller tettheten til gitteret..
Figur 1 og 2 viser forskjellige amorfe figurer. For å beregne arealet er det laget et rutenett, sammensatt av 2 X 2 firkanter, som igjen er delt inn i tjuefem 2/5 x 2/5 firkanter.
Å legge til områdene til hovedkvadratene og de sekundære rutene gir det omtrentlige arealet til den amorfe figuren.
Artikkelindeks
Det er ofte nødvendig å grovt beregne arealet under en kurve mellom to grenseverdier. I dette tilfellet, i stedet for et kvadratisk gitter, kan det trekkes rektangulære striper som omtrent dekker området under nevnte kurve..
Summen av alle de rektangulære stripene kalles sum eller Riemann sum. Figur 3 viser en partisjon av intervallet [a, b] som vi vil tilnærme arealet under kurven over.
Anta at du vil beregne arealet under kurven gitt av funksjonen y = f (x), der x tilhører intervallet [a, b] der du vil beregne området. For dette lages en partisjon av n-elementer innenfor dette intervallet:
Partisjon = x0 = a, x1, x2,…, xn = b.
Deretter oppnås det omtrentlige arealet under kurven gitt av y = f (x) i intervallet [a, b] ved å utføre følgende summering:
S = ∑k = 1n f (tk) (xk - xk-1)
Hvor Tk er mellom xk-1 og xk: xk-1 ≤ tk ≤ xk .
Figur 3 viser grafisk Riemann-summen av kurven y = f (x) i intervallet [x0, x4]. I dette tilfellet ble det laget en partisjon av fire underintervaller, og summen representerer det totale arealet til de grå rektanglene.
Denne summen representerer en tilnærming til arealet under kurven f mellom abscissen x = x0 og x = x4.
Tilnærmingen til området under kurven forbedres etter hvert som tallet n av skillevegger er større, og har en tendens til å være nøyaktig området under kurven når tallet n av partisjoner har en tendens til uendelig.
I tilfelle kurven er representert med en analytisk funksjon, blir verdiene f (tk) beregnes ved å evaluere denne funksjonen til t-verdienek. Men hvis kurven ikke har et analytisk uttrykk, forblir følgende muligheter:
Avhengig av valget av verdien tk i intervallet [xk, xk-1], kan summen overvurdere eller undervurdere den nøyaktige verdien av området under kurven til funksjonen y = f (x). Det mest tilrådelige er å ta punktet tk der det manglende området er omtrent lik overflødig areal, selv om det ikke alltid er mulig å ta et slikt valg..
Det mest praktiske er da å bruke jevnlige intervaller med bredde Δx = (b - a) / n, der a og b er minimums- og maksimumsverdiene for abscissen, mens n er antall underavdelinger.
I så fall tilnærmes arealet under kurven med:
Areal = f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b) * Δx
I uttrykket ovenfor ble tk tatt i høyre ende av underintervallet.
En annen praktisk mulighet er å ta verdien tk ytterst til venstre, i hvilket tilfelle summen som tilnærmer seg området blir uttrykt som:
Areal = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
I tilfelle tk er valgt som den sentrale verdien av det vanlige delintervallet for bredden Δx, er summen som er tilnærmet arealet under kurven:
Areal = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Ethvert av disse uttrykkene har en tendens til den nøyaktige verdien i den grad antallet underavdelinger er vilkårlig stort, det vil si at Δx har en tendens til null, men i dette tilfellet blir antall termer i summeringen enormt store med den påfølgende beregningskostnaden.
Figur 2 viser en amorf figur, hvis kontur ligner steinene i bilde 1. For å beregne arealet er den plassert på et rutenett med hovedruter på 2 x 2 kvadratiske enheter (for eksempel kan de være 2 cm²)..
Og siden hvert kvadrat er delt inn i 5 x 5 underinndelinger, har hver underavdeling et område på 0,4 x 0,4 kvadratiske enheter (0,16 cm²).
Arealet av figuren vil bli beregnet slik:
Areal = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Nemlig:
Areal = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Beregn omtrent arealet under kurven gitt av funksjonen f (x) = xto mellom a = -2 til b = +2. For å gjøre dette, skriv først summen for n vanlige partisjoner av intervallet [a, b] og ta deretter den matematiske grensen for det tilfellet at antall partisjoner har en tendens til uendelig.
Først definerer du intervallet til partisjonene som
Δx = (b - a) / n.
Så ser den rette summen som tilsvarer funksjonen f (x) slik ut:
[-2 + (4i / n)]to = 4 - 16 i / n + (4 / n)to Jegto
Og så erstattes det i summeringen:
Og det tredje resultatet:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nto
Å velge en stor verdi for n gir en god tilnærming til området under kurven. I dette tilfellet er det imidlertid mulig å få den eksakte verdien ved å ta den matematiske grensen når n har en tendens til uendelig:
Areal = limn-> ∞[16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nto]
Areal = 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.