De stående bølger De er bølger som forplanter seg i et begrenset medium, går og kommer i en del av rommet, i motsetning til vandrende bølger, som når de formerer seg, beveger seg bort fra kilden som oppsto fra dem og ikke kommer tilbake til det.
De er grunnlaget for lydene som produseres i musikkinstrumenter, siden de oppstår lett i de faste strengene, enten i den ene enden eller begge deler. De er også opprettet i tette membraner som trommer eller inne i rør og strukturer som broer og bygninger..
Når du har en fast streng i begge ender, som for eksempel en gitar, opprettes for eksempel bølger med identisk amplitude og frekvens som beveger seg i motsatt retning og kombineres for å produsere et fenomen som kalles innblanding.
Hvis bølgene er i fase, blir toppene og dalene justert og resulterer i en bølge med dobbelt amplitude. I så fall snakker vi om konstruktiv forstyrrelse.
Men hvis de forstyrrende bølgene er ute av fase, møter toppene til en andres daler, og den resulterende amplituden er null. Det handler da om destruktiv forstyrrelse.
Artikkelindeks
Hovedelementene i bølgen som representerer den i rom og tid er amplituden A, bølgelengden λ og vinkelfrekvensen ω.
I den matematiske representasjonen er det foretrukket å bruke k, enn bølgenummer eller antall ganger bølgen forekommer per lengdeenhet. Derfor defineres det gjennom bølgelengden λ som er avstanden mellom to daler eller to rygger:
k = 2π / λ
Mens vinkelfrekvens gjelder perioden eller varigheten av en fullstendig svingning, for eksempel:
ω = 2π / T
Og også frekvensen f er gitt av:
f = ω / 2π
Derfor:
f = 1 / T
Også bølgene beveger seg med fart v i henhold:
v = λ.f
Matematisk kan vi uttrykke en bølge ved hjelp av sinusfunksjonen eller cosinusfunksjonen. Anta at vi har bølger med lik amplitude A, bølgelengde λ og frekvens ω, som forplanter seg langs en streng og i motsatt retning:
Y1 = En synd (kx - ωt)
Yto = En synd (kx + ωt)
Når vi legger til dem, finner vi den resulterende bølgen ogR:
YR = og1 + Yto = A sin (kx - ωt) + A sin (kx + ωt)
Det er en trigonometrisk identitet for å finne summen:
sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (α - β) / 2
Ved denne identiteten, den resulterende bølgen yR rester:
YR = [2A sin kx]. cos ωt
Den resulterende bølgen har amplitude A.R = 2Asen kx, som avhenger av partikkelens posisjon. På punktene der sin kx = 0 forsvinner bølgens amplitude, det vil si at det ikke er noen vibrasjon.
Disse punktene er:
kx = π, 2π, 3π ...
Siden k = 2 π / λ:
(2 π / λ) x = π, 2π, 3π ...
x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...
Destruktiv interferens oppstår på slike punkter og kalles noder. De er atskilt med en avstand lik λ / 2, som trukket fra forrige resultat.
Og mellom to påfølgende noder er antinodene eller magene, der bølgens amplitude er maksimal, siden konstruktiv interferens oppstår der. De oppstår når:
sin kx = ± 1
kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2 ...
Igjen k = 2 π / λ og deretter:
x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4, ...
Grensebetingelsene i strengen bestemmer hvordan bølgelengder og frekvenser er. Hvis en streng med lengden L er fast i begge ender, kan den ikke vibrere med noen frekvens, fordi punktene der strengen er fast allerede er noder.
Videre er skillet mellom tilstøtende noder λ / 2, og mellom node og mage er λ / 4, på denne måten produseres bare for bestemte bølgelengder stasjonære bølger: de der et heltall n av λ / 2 passer innenfor:
(λ / 2) = L, med n = 1, 2, 3, 4 ... .
Derfor:
λ = 2L / n
De forskjellige verdiene som λ tar kalles harmoniske. Dermed har vi:
-Første harmoniske: λ = 2L
-Andre harmoniske: λ = L
-Tredje harmonisk: λ = 2 L / 3
-Fjerde harmoniske: λ = L / 2
Og så videre.
Selv om den stående bølgen ikke ser ut til å bevege seg, er likningen fortsatt gyldig:
v = λ. F
Derfor:
v = (2L / n). F
f = nv / 2L
Nå kan det vises at hastigheten som en bølge beveger seg i en streng avhenger av spenningen T i den og dens lineære tetthet på masse μ (masse per lengdeenhet) som:
Derfor:
-Når bølgene er stasjonære, forplantes ikke den resulterende bølgen det samme som komponentene, som går fra den ene siden til den andre. Det er punkter der y = 0 fordi det ikke er vibrasjon: nodene, med andre ord, amplituden A.R det blir null.
-Det matematiske uttrykket for en stående bølge består av produktet av en romlig del (som avhenger av x-koordinaten eller romlige koordinater) og en tidsmessig del.
-Mellom nodene svinger den resulterende svarte bølgen på ett sted, mens bølgene som går fra den ene siden til den andre er ute av fase der..
-Energi transporteres ikke rett ved nodene, siden dette er proporsjonalt med kvadratet til amplituden, men det er fanget mellom nodene.
-Avstanden mellom tilstøtende noder er halv bølgelengde.
-Punktene der akkorden er fiksert blir også betraktet som noder..
Bølgene i en fast streng er eksempler på stående bølger i en dimensjon, hvis matematiske beskrivelse vi tilbød i de forrige avsnittene..
Stående bølger kan også presenteres i to og tre dimensjoner, deres matematiske beskrivelse er litt mer kompleks.
-Et tau festet i den ene enden som er oscillert for hånd eller med et stempel på den andre, genererer stående bølger langs lengden.
-Å spille strengeinstrumenter som gitar, harpe, fiolin og piano skaper også stående bølger, ettersom de har strenger justert til forskjellige spenninger og festet i begge ender..
Stående bølger opprettes også i rør med luft, for eksempel orgelrør..
Stående bølger oppstår i strukturer som broer og bygninger. Et bemerkelsesverdig tilfelle var den av Tacoma Narrows-hengebroen nær byen Seattle, USA. Kort tid etter at den ble innviet i 1940, kollapset denne broen på grunn av de stående bølgene som ble skapt inne av vinden..
Vindens frekvens ble parret med broens naturlige frekvens, noe som skapte stående bølger i den, som økte i amplitude til broen kollapset. Fenomenet er kjent som resonans.
I havner er det et veldig nysgjerrig fenomen som kalles seiche, der havets bølger gir store svingninger. Dette skyldes det faktum at vannet i havnen er ganske lukket, selv om havvannet trenger innimellom gjennom inngangen til havnen..
Havnevann beveger seg med sin egen frekvens, akkurat som havets. Hvis begge farvannene tilsvarer frekvensene, produseres en stor stående bølge av resonans, slik det skjedde med Tacoma-broen..
De seiches De kan også forekomme i innsjøer, reservoarer, svømmebassenger og andre overflatebegrensede vannmasser..
Stående bølger kan opprettes i en fisketank som bæres av en person, hvis frekvensen som personen går med tilsvarer frekvensen av vannet.
En gitarstreng har L = 0,9 m og en lineær massetetthet μ = 0,005 kg / m. Den utsettes for 72 N spenning, og dens vibrasjonsmåte er den som er vist på figuren, med amplitude 2A = 0,5 cm.
Finne:
a) Formasjonshastighet
b) Bølgefrekvens
c) Tilsvarende stående bølgeligning.
Gjennom:
Er oppnådd;
v = [72 N / (0,005 kg / m)]1/2 = 120 m / s.
Avstanden mellom to tilstøtende noder er λ / 2, derfor:
(2/3) L - (1/3) L = λ / 2
(1/3) L = λ / 2
λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 m / 3 = 0,60 m.
Siden v = λ.f
f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s-1= 200 Hz.
Ligningen er:
YR = [2A sin kx]. cos ωt
Vi må erstatte verdiene:
k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 m = 10 π / 3
f = ω / 2π
ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.
Amplituden 2A er allerede gitt av uttalelsen:
2A = 0,5 cm = 5 x 10 -3 m.
Derfor:
YR = 5 x 10 -3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt) =
= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.