De ikke-lineær programmering er prosessen med å optimalisere en funksjon som er avhengig av flere uavhengige variabler, som igjen er underlagt begrensninger.
Hvis en eller flere av begrensningene, eller hvis funksjonen for å maksimere eller minimere (kalt Objektiv funksjon), uttrykkes det ikke som en lineær kombinasjon av variablene, så vi har et ikke-lineært programmeringsproblem.
Og derfor kan ikke prosedyrene og metodene for lineær programmering brukes.
For eksempel kan ikke den velkjente metoden brukes Simplex, som bare gjelder når objektivfunksjonen og begrensningene er en lineær kombinasjon av problemvariablene.
Artikkelindeks
For ikke-lineære programmeringsproblemer er de viktigste metodene som skal brukes:
1.- Grafiske metoder.
2.- Lagrange-multiplikatorer for å utforske grensen til løsningsområdet.
3.- Beregning av gradienten for å utforske ekstreme objektive funksjoner.
4.- Metoden for nedstigende trinn for å finne nullgradientpoengene.
5.- Modifisert metode for Lagrange-multiplikatorene (med tilstanden Karush-Kuhn-Tucker).
Et eksempel på en løsning med den grafiske metoden er den som kan sees i figur 2:
Overskuddet G for et bestemt selskap avhenger av mengden solgt av produkt X og mengden solgt av produkt Y, i tillegg bestemmes fortjenesten av følgende formel:
G = 2 (X - 2)to + 3 (OG - 3)to
Det er kjent at beløpene X og Y har følgende begrensninger:
X≥0; Y≥0 og X + Y ≤ 7
Bestem verdiene til X og Y som gir maksimal forsterkning.
I dette problemet er den objektive funksjonen ikke-lineær, mens ulikhetene som definerer begrensningene er. Det er et problem med ikke-lineær programmering.
For løsning av dette problemet vil den grafiske metoden velges.
Først vil løsningsområdet bli bestemt, som er gitt av begrensningene.
Som X≥0; Y≥0, må løsningen finnes i første kvadrant av XY-planet, men siden det også må være sant at X + Y ≤ 7, er løsningen i det nedre halvplanet av linjen X + Y = 7.
Løsningsområdet er skjæringspunktet mellom den første kvadranten og det nedre halvplanet av linjen, noe som gir opphav til et trekantet område der løsningen er funnet. Det er det samme som angitt i figur 1.
På den annen side kan forsterkningen G også være representert i det kartesiske planet, siden ligningen er den til en ellips med sentrum (2,3).
Ellipsen er vist i figur 1 for forskjellige verdier av G. Jo høyere verdien til G, jo større er forsterkningen..
Det er løsninger som tilhører regionen, men som ikke gir den maksimale G-verdien, mens andre, for eksempel G = 92,4, er utenfor den grønne sonen, det vil si løsningssonen.
Deretter tilsvarer den maksimale verdien av G, slik at X og Y tilhører løsningsområdet:
G = 77 (maksimal forsterkning), som er gitt for X = 7 og Y = 0.
Interessant, maksimal fortjeneste oppstår når salgsmengden for produkt Y er null, mens mengden av produkt X når den høyest mulige verdien..
Finn løsningen (x, y) som gjør funksjonen f (x, y) = xto + 2 ogto være maksimum i regionen g (x, y) = xto + Yto - 1 = 0.
Det er helt klart et ikke-lineært programmeringsproblem, siden både objektivfunksjonen f (x, y) og begrensningen g (x, y) = 0 ikke er en lineær kombinasjon av variablene x og y.
Lagrange-multiplikatormetoden vil bli brukt, som først krever definering av Lagrange-funksjonen L (x, y, λ):
L (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y) = xto + 2 ogto - λ (xto + Yto - 1)
Hvor λ er en parameter som heter Lagrange multiplikator.
For å bestemme de ekstreme verdiene til den objektive funksjonen f, i løsningsområdet gitt av begrensningen g (x, y) = 0, følg disse trinnene:
-Finn delderivatene til Lagrange-funksjonen L, med hensyn til x, y, λ.
-Sett hvert derivat til null.
Her er sekvensen av disse operasjonene:
En mulig løsning av dette systemet er λ = 1 slik at den første ligningen er tilfredsstilt, i hvilket tilfelle y = 0 slik at den andre er oppfylt.
Denne løsningen innebærer at x = 1 eller x = -1 for at den tredje ligningen skal oppfylles. På denne måten er to løsninger S1 og S2 oppnådd:
S1: (x = 1, y = 0)
S2: (x = -1, y = 0).
Det andre alternativet er at λ = 2 slik at den andre ligningen er tilfredsstilt, uavhengig av verdien y.
I dette tilfellet er den eneste måten for den første ligningen å bli oppfylt, at x = 0. Tatt i betraktning den tredje ligningen, er det bare to mulige løsninger, som vi vil kalle S3 og S4:
S3: (x = 0, y = 1)
S4: (x = 0, y = -1)
For å finne ut hvilken eller hvilken av disse løsningene som maksimerer objektivfunksjonen, fortsetter vi å erstatte i f (x, y):
S1: f (1, 0) = 1to + 2.0to = 1
S2: f (-1, 0) = (-1)to + 2.0to = 1
S3: f (0, 1) = 0to + 2.1to = 2
S4: f (0, -1) = 0to + tjueen)to = 2
Vi konkluderer med at løsningene som maksimerer f, når x og y hører til omkretsen g (x, y) = 0 er S3 og S4.
Parene med verdier (x = 0, y = 1) og (x = 0, y = -1) maksimerer f (x, y) i løsningsområdet g (x, y) = 0.
Finn løsninger (x, y) for den objektive funksjonen:
f (x, y) = xto + 2 ogto
La være maksimalt i regionen g (x, y) = xto + Yto - 1 ≤ 0.
Denne øvelsen ligner på øvelse 2, men løsningsområdet (eller begrensningen) strekker seg til det indre området av omkretsen g (x, y) = 0, det vil si sirkelen g (x, y) ≤ 0. Dette inkluderer til omkretsen og dens indre region.
Løsningen ved grensen er allerede bestemt i oppgave 2, men det indre området gjenstår å bli utforsket.
For å gjøre dette må gradienten til funksjonen f (x, y) beregnes og settes lik null for å finne ekstreme verdier i løsningsområdet. Dette tilsvarer å beregne delderivatene av f med hensyn til henholdsvis x og y og innstilling lik null:
∂f / ∂x = 2 x = 0
∂f / ∂y = 4 y = 0
Dette ligningssystemet har som den eneste løsningen (x = 0, y = 0) som tilhører sirkelen g (x, y) ≤ 0.
Å erstatte denne verdien i funksjonen f resulterer i:
f (0, 0) = 0
Avslutningsvis er den maksimale verdien som funksjonen tar i løsningsområdet 2 og forekommer ved grensen til løsningsområdet for verdiene (x = 0, y = 1) og (x = 0, y = -1 ).
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.