Teleskopisk summering hvordan det løses og øvelser løses

De summering teleskopisk er en virksomhetsgren med tallserier. Adresserer summeringen av elementer fra en innledende verdi til "n" av uttrykk hvis argument overholder et av følgende mønstre:

(F_x - F_{x + 1}); (F_{x + 1}  - F_x)

Som også:

De representerer en oppsummering av elementer som, når de er utviklet, utsettes for kanselleringer av motsatte vilkår. Gjør det mulig å definere følgende likhet for teleskopiske summeringer:

Navnet kommer fra forholdet til utseendet til et klassisk teleskop, som kan foldes og foldes ut, spesielt endre dens dimensjon. På samme måte kan teleskopiske summeringer, som er uendelige i naturen, oppsummeres i det forenklede uttrykket:

F₁ - F_{n + 1}

Artikkelindeks

• 1 Demo
• 2 Hvordan løse?
  • 2.1 Nedbrytning i enkle brøker
• 3 Historie
• 4 Øvelser
  • 4.1 Øvelse 1
  • 4.2 Øvelse 2
• 5 Referanser

Demonstrasjon

Når man utvikler en oppsummering av vilkår, er eliminering av faktorer ganske åpenbar. Hvor for hver av tilfellene, vil motsatte elementer vises i neste iterasjon.

Den første saken, (F_x - F_{x + 1}), siden prosessen fungerer på en homolog måte for (F_{x + 1}-F_x).

Ved å utvikle de tre første verdiene 1, 2, 3 observeres trenden med forenkling

X₁     (F₁ - F_{1 + 1}) = F₁ - F_to

X_to     (F_to - F_{2 + 1}) = F_to - F₃

X₃     (F₃ - F_{3 + 1}) = F₃ - F₄

Hvor når du uttrykker summen av elementene som er beskrevet:

X₁ + X_to + X₃ = F₁ - F_to + F_to - F₃ + F₃ - F₄

Det observeres at F-begrepene_to og F₃ de blir beskrevet sammen med sine motsetninger, noe som gjør forenklingen deres uunngåelig. På samme måte observeres det at begrepene F₁ og F₄ forbli.

Hvis summen ble laget fra x = 1 til x = 3, betyr det at elementet F₄ tilsvarer den generiske betegnelsen F_{n + 1.}

Dermed demonstrerer likestilling:

Hvordan løses det?

Hensikten med de teleskopiske summasjonene er å legge til rette for arbeidet, slik at det ikke er nødvendig å utvikle et uendelig antall vilkår, eller å forenkle en for lang kjede av tillegg..

For oppløsningen vil det bare være nødvendig å evaluere F-vilkårene₁ og F_{n + 1}. Disse enkle erstatningene utgjør det endelige resultatet av summeringen.

Helheten av vilkårene blir ikke uttrykt, og blir bare nødvendig for å demonstrere resultatet, men ikke for den normale beregningsprosessen.

Det viktige er å legge merke til konvergensen i nummerseriene. Noen ganger vil summeringsargumentet ikke komme til uttrykk teleskopisk. I disse tilfellene er implementering av alternative factoring-metoder veldig vanlig..

Den karakteristiske faktoriseringsmetoden i teleskopiske tillegg er den for enkle brøker. Dette skjer når en originalfraksjon spaltes til en sum av flere fraksjoner, der det teleskopiske mønsteret (F_x - F_{x + 1}) eller (F_{x + 1}  - F_x).

Nedbrytning i enkle brøker

For å verifisere konvergensen til den numeriske serien, er det veldig vanlig å transformere rasjonelle uttrykk med metoden med enkle brøker. Målet er å modellere plottet i form av en teleskopisk summering..

For eksempel representerer følgende likhet en nedbrytning i enkle brøker:

Når du utvikler nummerseriene og bruker de tilsvarende egenskapene, tar uttrykket følgende form:

Hvor den teleskopiske formen (F_x - F_{x + 1}).

Prosedyren er ganske intuitiv og består i å finne verdiene til telleren som, uten å bryte likheten, tillater å skille produktene som er i nevneren. Ligningene som oppstår ved bestemmelsen av disse verdiene, heves i henhold til sammenligninger mellom begge sider av likheten.

Denne prosedyren blir observert trinn for trinn i utviklingen av øvelse 2.

Historie

Det er ganske usikkert å kunne definere det historiske øyeblikket der de teleskopiske summasjonene ble presentert. Implementeringen begynner imidlertid å bli sett i det syttende århundre, i studiene av numeriske serier utført av Leibniz og Huygens..

Begge matematikerne, som utforsker summeringene av trekantetall, begynner å legge merke til trender i konvergensen av visse serier av påfølgende elementer. Men enda mer interessant er begynnelsen på modelleringen av disse uttrykkene, i elementer som ikke nødvendigvis følger hverandre.

Faktisk er uttrykket som ble brukt tidligere for å referere til enkle brøker:

Den ble introdusert av Huygens og fanget umiddelbart Leibnizs oppmerksomhet. Som over tid kunne observere konvergensen til verdien 2. Uten å vite det, implementerte han det teleskopiske summeringsformatet.

Opplæring

Øvelse 1

Definer til hvilket begrep følgende sum konvergerer:

Ved manuell utvikling av summen observeres følgende mønster:

(to³ - to⁴) + (2⁴ - to⁵) + (2⁵ - to⁶) ... (to¹⁰ - to^elleve)

Hvor faktorene fra 2⁴ opptil 2¹⁰ De presenterer positive og negative deler, noe som gjør kanselleringen tydelig. Da vil de eneste faktorene som ikke vil forenkles være de første "2³”Og den siste“ 2^elleve".

På denne måten oppnås følgende ved implementering av teleskopisk summeringskriterium:

Øvelse 2

Forvandle argumentet til en teleskopisk summasjon og definere konvergensen av serien:

Som angitt i uttalelsen, vil den første tingen å gjøre være å spaltes i enkle brøker, for å gjenta argumentet og uttrykke det på en teleskopisk måte..

Du må finne to brøker der nevnerne er henholdsvis "n" og "n + 1", der metoden som brukes nedenfor må oppnå verdiene til telleren som oppfyller likheten.

Vi fortsetter med å definere verdiene til A og B. Først legger du til brøkene.

Deretter forenkles nevnerne og en lineær ligning etableres.

I neste trinn opereres uttrykket til høyre, til et mønster som kan sammenlignes med “3” til venstre oppnås..

For å definere ligningene som skal brukes, må resultatene fra begge sider av likheten sammenlignes. Det vil si at ingen verdier av variabelen n blir observert på venstre side, på denne måten må A + B være lik null.

A + B = 0; A = -B

På den annen side må den konstante verdien A være lik den konstante verdien 3.

A = 3

Derfor.

A = 3 og B = -3

Når tellerverdiene for de enkle brøkene allerede er definert, blir summasjonen omgjort.

Hvor den generiske formen for teleskopisk summering allerede er oppnådd. Teleskopserien er utviklet.

Når resultatet deles med et veldig stort tall, vil komme nærmere og nærmere null, og observere konvergensen til serien til verdien 3.

Denne typen serier kunne ikke løses på noen annen måte på grunn av det uendelige antallet gjentakelser som definerer problemet. Imidlertid rammer denne metoden sammen med mange andre grenen av studien av numeriske serier, hvis mål er å bestemme konvergensverdiene eller definere divergensen til nevnte serier..

Referanser

1. Infinitesimal calculus leksjoner. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Integral Calculus: Sekvenser og funksjonsserier. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. okt. 2014.
3. Et kurs i kalkulus og reell analyse. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. juni. 2006.
4. Uendelig serie. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Elementer i teorien om uendelige prosesser. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.