De bane i fysikk Det er kurven som en mobil beskriver når den går gjennom påfølgende punkter under bevegelsen. Siden den kan adoptere et uendelig antall varianter, vil banene som mobilen kan følge, også gjøre.
For å komme seg fra et sted til et annet, kan en person gå forskjellige veier og forskjellige måter: til fots gjennom fortauene i gater og alléer, eller å ankomme med bil eller motorsykkel på en motorvei. Under en tur gjennom skogen kan rullatoren følge en komplisert sti som inkluderer svinger, går opp eller ned i nivå og til og med går gjennom samme punkt flere ganger.
Hvis punktene som mobilen beveger seg gjennom følger en rett linje, vil banen være rettlinjet. Dette er den enkleste banen, fordi den er endimensjonal. Å spesifisere posisjonen krever en enkelt koordinat.
Men mobilen kan følge en krøllete sti, være i stand til å være stengt eller åpen. I disse tilfellene krever sporing av posisjonen to eller tre koordinater. Dette er bevegelser i henholdsvis planet og i rommet. Dette har å gjøre med lenker: materielle forhold som begrenser bevegelse. Noen eksempler er:
- Banene som beskriver planetene rundt solen er lukkede ellipseformede stier. Selv om de i noen tilfeller kan tilnærmes til et sirkulært, som i tilfelle med jorden.
- Ballen som keeperen sparker i et målspor følger en parabolsk bane.
- En fugl i flukt beskriver krumlinjeformede baner i verdensrommet, fordi den i tillegg til å bevege seg på et fly, kan gå opp eller ned i nivå etter ønske.
Banen i fysikk kan uttrykkes matematisk når mobilens posisjon er kjent når som helst. Være r posisjonsvektoren, som igjen har koordinater x, Y Y z i det mest generelle tilfellet av en bevegelse i tre dimensjoner. Å kjenne funksjonen r (t) banen vil være helt bestemt.
Artikkelindeks
Generelt kan banen være en ganske komplisert kurve, spesielt hvis du vil uttrykke den matematisk. Av denne grunn begynner det med de enkleste modellene, hvor mobilene reiser på en rett linje eller på et fly, som kan være gulvet eller en hvilken som helst annen passende:
De mest studerte banene er:
- Rettlinjær, når du kjører på en rett vannrett, loddrett eller skrå linje. En ball kastet vertikalt oppover følger denne banen, eller en gjenstand som glir nedover en skråning følger. De er endimensjonale bevegelser, en enkelt koordinat er nok til å bestemme deres posisjon fullstendig..
- Parabolsk, der mobilen beskriver en bue av en parabel. Det er hyppig, siden ethvert objekt kastet skrått under tyngdekraften (et prosjektil) følger denne banen. For å spesifisere posisjonen til mobilen må du oppgi to koordinater: x Y Y.
- Sirkulær, oppstår når den bevegelige partikkelen følger en sirkel. Det er også vanlig i naturen og i daglig praksis. Mange hverdagsobjekter følger en sirkulær bane som dekk, maskindeler og satellitter i bane, for å nevne noen..
- Elliptisk, objektet beveger seg etter en ellipse. Som sagt i begynnelsen er det stien fulgt av planetene i bane rundt solen.
- Hyperbolisk, Astronomiske objekter under påvirkning av en sentral kraft (tyngdekraften) kan følge elliptiske (lukkede) eller hyperbolske (åpne) baner, disse er sjeldnere enn de tidligere.
- Helical, eller spiralbevegelse, som for en fugl som stiger opp i en termisk strøm.
- Sving eller pendel, mobilen beskriver en bue i bevegelser frem og tilbake.
Banene beskrevet i forrige avsnitt er veldig nyttige for raskt å få en ide om hvordan et objekt beveger seg. I alle fall er det nødvendig å avklare at banen til en mobil avhenger av plasseringen til observatøren. Dette betyr at den samme hendelsen kan sees på forskjellige måter, avhengig av hvor hver person er..
For eksempel pedaler en jente i konstant hastighet og kaster en ball oppover. Hun observerer at ballen beskriver en rettlinjet bane.
Imidlertid, for en observatør som står på veien som ser den passere, vil ballen ha en parabolsk bevegelse. For ham ble ballen først kastet med en skrå hastighet, et resultat av farten oppover av jentas hånd pluss hastigheten på sykkelen..
- Eksplisitt, direkte spesifisere kurven eller stedet gitt av ligningen y (x)
- Implisitt, der en kurve uttrykkes som f (x, y, z) = 0
-Parametrisk, i denne formen blir x-, y- og z-koordinatene gitt som en funksjon av en parameter som vanligvis velges som tid t. I dette tilfellet består banen av funksjonene: x (t), og T) Y z (t).
Deretter er to baner som har blitt mye studert i kinematikk detaljert: den parabolske banen og den sirkulære banen..
Et objekt (prosjektilet) kastes i en vinkel a med den horisontale og med starthastighet veller som bildet viser. Det tas ikke hensyn til luftmotstand. Bevegelsen kan behandles som to uavhengige og samtidige bevegelser: den ene horisontal med konstant hastighet og den andre vertikal under tyngdekraften..
x (t) = xeller +vokse.t
y (t) = yeller +vHei.t -½g.tto
Disse ligningene er parametriske ligninger lansering av prosjektil. Som forklart ovenfor har de parameteren t, hva er tid.
Følgende kan sees i høyre trekant i figuren:
vokse = veller cos θJeg
vHei = veller sen θJeg
Å erstatte disse ligningene som inneholder startvinkelen i de parametriske ligningene, resulterer i:
x (t) = xeller +veller cos θJeg.t
y (t) = yeller +veller. sen θJeg.t -½g.tto
Den eksplisitte ligningen til banen blir funnet ved å løse t fra ligningen for x (t) og erstatte i ligningen med y (t). For å legge til rette for algebraisk arbeid, kan det antas at opprinnelsen (0,0) ligger ved utskytningsstedet og dermed xeller = ogeller = 0.
Dette er ligningen til stien i eksplisitt måte.
En sirkelbane er gitt av:
(x - xeller)to + (og - ogeller)to = Rto
Her xeller og ogeller representerer sentrum av sirkelen beskrevet av mobilen, og R er dens radius. P (x, y) er et punkt på stien. Fra den skyggelagte høyre trekanten (figur 3) kan det sees at:
x = R. cos θ
y = R. sin θ
Parameteren er i dette tilfellet den feide vinkelen θ, kalt vinkelforskyvningen. I det spesielle tilfellet at vinkelhastigheten ω (vinkel feid per tidsenhet) er konstant, kan det sies at:
θ = θeller + ωt
Hvor θeller er den opprinnelige vinkelposisjonen til partikkelen, som hvis den tas som 0, reduseres til:
θ = ωt
I et slikt tilfelle går tiden tilbake til parametriske ligninger som:
x = R.cos ωt
y = R. sin ωt
Enhetsvektorene Jeg Y j er veldig praktiske for å skrive posisjonsfunksjonen til et objekt r (t). De angir retningene på aksen x og på aksen Y henholdsvis. I sine termer er posisjonen til en partikkel som beskriver en enhetlig sirkulær bevegelse:
r (t) = R.cos ωt Jeg + R. sen ωt j
En kanon kan skyte en kule med en hastighet på 200 m / s og en vinkel på 40 ° i forhold til den horisontale. Hvis kastet er på flatt underlag og luftmotstanden er neglisjert, finn:
a) Ligningen til stien y (x) ...
b) Parametriske ligninger x (t) Y og T).
c) Det horisontale området og tiden prosjektilet varer i luften.
d) Høyden der prosjektilet er når x = 12.000 m
a) For å finne banen erstattes verdiene gitt i ligningen y (x) i forrige avsnitt:
y (x) = tg 40º. x - 9.8 / (2 '400to. costo40.) xto ⇒ y (x) = 0,8391 x - 0,0000522xto
b) Startpunktet velges ved opprinnelsen til koordinatsystemet (0,0):
x (t) = xeller +vokse.t = 400'cos 40º.t = 306.42. t.
y (t) = yeller +vHei.t -½g.tto= 400 'sin 40º.t - 0.5 '9.8'tto= 257,12 t - 4,9.tto
c) For å finne tiden prosjektilet varer i luften, gjør y (t) = 0, å være lanseringen er laget på flat mark:
0 = 257.12.t - 4.9.tto
t = 257,12 / 4,9 s = 52,473 s
Maksimal horisontal rekkevidde blir funnet ved å erstatte denne verdien i x (t):
xmaks = 306,42'52, 47 m = 16077,7 m
En annen måte å finne x påmaks direkte er ved å lage y = 0 i ligningen til banen:
0 = 0,8391 xmaks - 0,0000522 xtomaks
x = 0,8391 / 0,0000522 m = 16078,5 m
Det er litt forskjell på grunn av avrunding av desimaler.
d) For å finne høyden når x = 12000 m, erstattes denne verdien direkte i ligningen til banen:
og (12000) = 0,8391'12000 - 0,0000522'12000to m = 2552,4 m
Posisjonsfunksjonen til et objekt er gitt av:
r (t) = 3t Jeg + (4 -5tto) j m
Finne:
a) Ligningen for stien. Hva kurven er?
b) Utgangsposisjonen og posisjonen når t = 2 s.
c) Forskyvningen som er gjort etter t = 2 s.
a) Posisjonsfunksjonen er gitt i form av enhetsvektorene Jeg Y j, som henholdsvis bestemmer retningen på aksene x Y Y, Og dermed:
x (t) = 3t
og T) = 4 -5tto
Banens ligning y (x) er klarering t fra x (t) og erstatte i y (t):
t = x / 3
y (x) = 4-5. (x / 3)to = 4 - 5xto/ 9 (lignelse)
b) Startposisjonen er: r (2) = 4 j m ; stillingen i t = 2 s Det er r (2) = 6 Jeg -16 j m
c) forskyvning Dr er subtraksjonen av de to posisjonsvektorene:
Δr = r (to) - r (2) = 6 Jeg -16 j- 4 j = 6 Jeg - tjue j m
Jorden har en radius R = 6300 km, og det er kjent at rotasjonsperioden for bevegelsen rundt aksen er en dag. Finne:
a) Ligningen til banen til et punkt på jordoverflaten og dens posisjonsfunksjon.
b) Hastigheten og akselerasjonen til det punktet.
a) Posisjonsfunksjonen for et hvilket som helst punkt i sirkulær bane er:
r (t) = R.cos ωt Jeg + R.sen ωt j
Vi har jordens radius R, men ikke vinkelhastigheten ω, men den kan beregnes ut fra perioden, vel vitende om at for sirkelbevegelse er det gyldig å si at:
ω = 2π × frekvens = 2π / periode
Bevegelsesperioden er: 1 dag = 24 timer = 1440 minutter = 86400 sekunder, derfor:
ω = 2π / 86400 s = 0,000023148 s-1
Bytte i stillingsfunksjonen:
r (t) = R.cos ωt Jeg + R. sen ωt j = 6300 (cos 0,000023148t Jeg + sen 0.000023148t j) Km
Banen i parametrisk form er:
x (t) = 6300. cos 0.000023148t
y (t) = 6300. sin 0,000023148t
b) For sirkulær bevegelse, størrelsen på den lineære hastigheten v av et punkt er relatert til vinkelhastigheten w gjennom:
v = ωR = 0,000023148 s-1'6300 Km = 0.1458 Km / s = 145.8 m / s
Selv å være en bevegelse med konstant hastighet på 145,8 m / s, det er en akselerasjon som peker mot sentrum av den sirkulære banen, som har ansvaret for å holde punktet i rotasjon. Det er sentripetal akselerasjon tilc, gitt av:
tilc = vto / R = (145,8 m / s)to / 6300 × 103 m = 0,00337 m / sto.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.