Sfæriske koordinater eksempler og løste øvelser

De sfæriske koordinater er et punktlokaliseringssystem i tredimensjonalt rom bestående av en radiell koordinat og to vinkelkoordinater kalt polarkoordinat og azimutkoordinat.

Figur 1, som vi ser nedenfor, viser sfæriske koordinater (r, θ, φ) til et punkt M. Disse koordinatene er referert til et ortogonalt system av kartesiske akser X, Y, Z med opprinnelse O.

I dette tilfellet er koordinaten r for punktet M avstanden fra dette punktet til opprinnelsen O. Polarkoordinaten θ representerer vinkelen mellom den positive halvaksen Z og radiusvektoren OM. Mens den azimutale koordinaten φ er vinkelen mellom den positive halvaksen X og radiusvektoren OM ', hvor M' er den ortogonale projeksjonen av M på XY-planet.

Den radiale koordinaten r tar bare positive verdier, men hvis et punkt er lokalisert ved opprinnelsen, er r = 0. Polarkoordinaten θ tar som en minimumsverdi 0º for punkter som ligger på den positive Z-halvaksen, og en maksimumsverdi 180 ° for punktene er plassert på den negative Z-halvaksen. Til slutt tar azimutalkoordinaten φ som en minimumsverdi 0º og en maksimal høyde på 360º.

0 ≤ r < ∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ  < 360º

Artikkelindeks

• 1 Koordinatendring
  • 1.1 Vektorbase i sfæriske koordinater
  • 1.2 Linje- og volumelementer i sfæriske koordinater
• 2 Forhold til geografiske koordinater
  • 2.1 Formler for å endre fra geografisk til sfærisk
• 3 eksempler
  • 3.1 Eksempel 1
  • 3.2 Eksempel 2
• 4 Øvelser
  • 4.1 Øvelse 1
  • 4.2 Øvelse 2
• 5 Referanser

Koordinatendring

Formlene som tillater å oppnå de kartesiske koordinatene (x, y, z) for et punkt M vil bli gitt nedenfor, forutsatt at de sfæriske koordinatene til det samme (r, θ, φ) punktet er kjent:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ) 

z = r Cos (θ)

På samme måte er det nyttig å finne relasjonene som går fra de kartesiske koordinatene (x, y, z) til et gitt punkt til de sfæriske koordinatene til nevnte punkt:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorbase i sfæriske koordinater

Fra de sfæriske koordinatene defineres et ortonormalt grunnlag for basisvektorer, som er betegnet med Ur, Uθ, Uφ. Figur 1 viser disse tre enhetsvektorene, som har følgende egenskaper:

- Ur er enhetsvektoren som tangerer den radielle linjen θ = ctte og φ = ctte;

- Uθ er enhetsvektoren som tangerer buen φ = ctte og r = ctte;

- Uφ er enhetsvektoren som tangerer buen r = ctte og θ = ctte.

Linje- og volumelementer i sfæriske koordinater

Posisjonsvektoren til et punkt i rommet i sfæriske koordinater er skrevet slik:

r = r Ur

Men en uendelig liten variasjon eller forskyvning av et punkt i tredimensjonalt rom, i disse koordinatene, uttrykkes av følgende vektorrelasjon:

dr = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) dφ Uφ

Til slutt skrives et uendelig stort volum dV i sfæriske koordinater slik:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Disse forholdene er veldig nyttige for å beregne linje- og volumintegraler i fysiske situasjoner som har sfærisk symmetri..

Forholdet til geografiske koordinater

Med geografiske koordinater forstås de som tjener til å finne steder på jordoverflaten. Dette systemet bruker koordinatene for bredde og lengdegrad for å finne posisjonen på jordens overflate..

I det geografiske koordinatsystemet antas jordoverflaten å være sfærisk med radien Rt, selv om den er kjent for å bli flat på polene, og et sett med imaginære linjer kalt paralleller og meridianer blir vurdert.

Breddegraden β er en vinkel dannet av en radius som starter fra midten av jorden til det punktet du vil posisjonere. Den måles fra ekvatorialplanet, som vist i figur 2. På den annen side er lengdegraden α vinkelen som meridianen til punktet som blir lokalisert danner i forhold til nullmeridianen (kjent som Greenwich-meridianen).

Breddegraden kan være nord- eller sørbreddegrad, avhengig av om stedet du finner er på den nordlige halvkule eller på den sørlige halvkule. Tilsvarende kan lengdegrad være vest eller øst, avhengig av om stedet er vest eller øst for nullmeridianen..

Formler for å skifte fra geografisk til sfærisk

For å oppnå disse formlene er det første å etablere et koordinatsystem. XY-planet er valgt for å falle sammen med ekvatorialplanet, den positive X-halvaksen er den som går fra midten av jorden og går gjennom nullmeridianen. I sin tur går Y-aksen gjennom meridianen 90 ° E. Jordoverflaten har en radius Rt.

Med dette koordinatsystemet ser transformasjonene fra geografisk til sfærisk slik ut:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α) 

Eksempler

Eksempel 1

De geografiske koordinatene til Palma de Mallorca (Spania) er:

Østlig lengdegrad 38.847º og nordlig bredde 39.570º. For å bestemme de sfæriske koordinatene som tilsvarer Palma de Mallorca, brukes den første formelen av formlene i forrige avsnitt:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Så de sfæriske koordinatene er:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

I det forrige svaret har vi tatt r lik Jordens gjennomsnittlige radius.

Eksempel 2

Å vite at Falklandsøyene (Malvinas) har geografiske koordinater på 59ºO 51,75ºS, bestemme de tilsvarende polarkoordinatene. Husk at X-aksen går fra midten av jorden til 0 ° meridianen og på ekvatorialplanet; Y-aksen også i ekvatorialplanet og passerer gjennom 90 ° vestmeridianen; til slutt Z-aksen på jordens rotasjonsakse i retning sør-nord.

For å finne de tilsvarende sfæriske koordinatene bruker vi formlene presentert i forrige avsnitt:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) det vil si

Falklandsøyene: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

Opplæring

Øvelse 1

Finn de kartesiske koordinatene til Palma de Mallorca i XYZ kartesiske referansesystem vist i figur 2.

Løsning: Tidligere, i eksempel 1, ble de sfæriske koordinatene hentet fra de geografiske koordinatene til Palma de Mallorca. Så formlene presentert ovenfor kan brukes til å gå fra sfærisk til kartesisk:

x = 6371 km Sen (50.43º) Cos (38.85º)

y = 6371 km Sen (50.43º) Sen (38.85º) 

z = 6371 km Cos (50,43º)

Å utføre de tilsvarende beregningene vi har:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Øvelse 2

Finn de kartesiske koordinatene til Falklandsøyene i XYZ kartesiske referansesystem vist i figur 2.

Løsning: Tidligere, i eksempel 2, ble de sfæriske koordinatene hentet fra de geografiske koordinatene til Falklandsøyene. Så formlene presentert ovenfor kan brukes til å gå fra sfærisk til kartesisk:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º) 

z = 6371 km Cos (141,75º)

Ved å utføre de tilsvarende beregningene får vi:

Falklandsøyene: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Referanser

1. Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder for fysikere. En omfattende guide. 7. utgave. Akademisk presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beregning cc. Løste problemer med sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: calculo.cc
3. Astronomiverksted. Breddegrad og lengdegrad. Gjenopprettet fra: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sfæriske koordinater." Fra MathWorld-A Wolfram Web. Gjenopprettet fra: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sfærisk koordinatsystem. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektorfelt i sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com