De binomial fordeling er en sannsynlighetsfordeling som beregner sannsynligheten for at hendelser skal forekomme, forutsatt at de skjer under to modaliteter: suksess eller fiasko.
Disse betegnelsene (suksess eller fiasko) er helt vilkårlige, siden de ikke nødvendigvis betyr gode eller dårlige ting. I løpet av denne artikkelen vil vi indikere den matematiske formen på binomialfordelingen, og deretter vil betydningen av hvert begrep bli forklart i detalj.
Artikkelindeks
Ligningen er som følger:
Med x = 0, 1, 2, 3… .n, hvor:
- P (x) er sannsynligheten for å ha nøyaktig x suksesser mellom n forsøk eller rettssaker.
- x er variabelen som beskriver fenomenet interesse, som tilsvarer antall suksesser.
- n antall forsøk
- s er sannsynligheten for suksess i ett forsøk
- hva er sannsynligheten for feil i 1 forsøk, derfor q = 1 - s
Utropstegnet "!" brukes til fakultativ notasjon, så:
0! = 1
1! = 1
to! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Og så videre.
Binomialfordelingen er veldig passende for å beskrive situasjoner der en hendelse inntreffer eller ikke skjer. Hvis det skjer, er det en suksess, og hvis ikke, så er det en fiasko. I tillegg må sannsynligheten for suksess alltid være konstant..
Det er fenomener som passer til disse forholdene, for eksempel kastet av en mynt. I dette tilfellet kan vi si at "suksess" får et ansikt. Sannsynligheten er ½ og endres ikke, uansett hvor mange ganger mynten kastes..
Rullingen av en ærlig terning er et annet godt eksempel, i tillegg til å kategorisere en viss produksjon i gode brikker og defekte brikker og få en rød i stedet for en svart når du snurrer et roulettehjul..
Vi kan oppsummere egenskapene til binomialfordelingen som følger:
- Enhver hendelse eller observasjon er hentet fra en uendelig befolkning uten erstatning eller fra en endelig befolkning med erstatning.
- Bare to gjensidig eksklusive alternativer vurderes: suksess eller fiasko, som forklart i begynnelsen.
- Sannsynligheten for suksess må være konstant i enhver observasjon som blir gjort.
- Resultatet av enhver hendelse er uavhengig av andre hendelser.
- Gjennomsnittet av binomialfordelingen er n.p.
- Standardavviket er:
La oss ta en enkel begivenhet, som kan være å få to hoder 5 ved å rulle en ærlig dør 3 ganger. Hva er sannsynligheten for at det i tre kast vil oppnås 2 hoder på 5?
Det er flere måter å oppnå dette på, for eksempel:
- De to første rundstykkene er 5 og den siste ikke.
- Den første og siste er 5, men ikke den midterste.
- De to siste kastene er 5 og den første ikke.
La oss ta den første sekvensen beskrevet som et eksempel og beregne sannsynligheten for forekomst. Sannsynligheten for å få 5 hoder på første kast er 1/6, og også på andre kast, siden de er uavhengige hendelser.
Sannsynligheten for å få et annet hode enn 5 på siste kast er 1 - 1/6 = 5/6. Derfor er sannsynligheten for at denne sekvensen kommer ut av sannsynlighetene:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Hva med de to andre sekvensene? De har samme sannsynlighet: 0,023.
Og siden vi har totalt tre vellykkede sekvenser, vil den totale sannsynligheten være:
P (2 hoder 5 i 3 kast) = Antall mulige sekvenser x sannsynlighet for en bestemt sekvens = 3 x 0,023 = 0,069.
La oss nå prøve binomialet der det er gjort:
x = 2 (å få 2 hoder på 5 på 3 kast er suksess)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Det er flere måter å løse binomialfordelingsøvelsene på. Som vi har sett, kan det enkleste løses ved å telle hvor mange vellykkede sekvenser det er og deretter multiplisere med de respektive sannsynlighetene.
Men når det er mange alternativer, blir tallene større, og det er å foretrekke å bruke formelen.
Og hvis tallene er enda høyere, er det tabeller over binomialfordelingen. Imidlertid er de nå foreldet til fordel for de mange typer kalkulatorer som letter beregningen..
Et par har barn med en sannsynlighet på 0,25 for å ha type O. Paret har totalt 5 barn. Svar: a) Passer denne situasjonen til en binomial fordeling? B) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 2 av dem er av type O?
a) Binomialfordelingen er justert, siden den oppfyller vilkårene i tidligere avsnitt. Det er to alternativer: å ha type O-blod er "suksess", mens det ikke er "fiasko", og alle observasjoner er uavhengige..
b) Vi har binomialfordeling:
x = 2 (skaff deg 2 barn med type O-blod)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
Et universitet hevder at 80% av studentene på college basketball laget uteksamineres. En undersøkelse undersøker den akademiske rekorden på 20 studenter som tilhører det nevnte basketballaget som meldte seg på universitetet for en tid tilbake.
Av disse 20 studentene var 11 ferdige og 9 droppet.
Hvis universitetets påstand er sant, bør antall studenter som spiller basketball og uteksamineres, av 20, ha en binomial fordeling med n = 20 Y p = 0,8. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 11 av de 20 spillerne uteksamineres??
I binomialfordeling:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Forskere gjennomførte en studie for å avgjøre om det var signifikante forskjeller i gradering mellom medisinstudenter som ble tatt opp gjennom spesielle programmer og medisinstudenter som ble tatt opp gjennom vanlige opptakskriterier..
Avgangsgraden ble funnet å være 94% for medisinstudenter som ble tatt opp gjennom spesielle programmer (basert på data fra Tidsskrift for American Medical Association).
Hvis ti av spesialprogrammene studentene er tilfeldig valgt, må du finne sannsynligheten for at minst 9 av dem ble uteksaminert.
b) Ville det være uvanlig å tilfeldig velge 10 studenter fra spesialprogrammer og finne at bare 7 av dem er uteksaminert??
Sannsynligheten for at en student som er tatt opp gjennom et spesialprogram, vil oppgradere er 94/100 = 0,94. Er valgt n = 10 studenter fra spesialprogrammer, og du vil finne ut sannsynligheten for at minst 9 av dem uteksamineres.
Følgende verdier erstattes deretter i binomialfordelingen:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.