De ellipsoid er en overflate i rommet som tilhører gruppen av kvadratiske overflater og hvis generelle ligning er av formen:
Øksto + Avto + Czto + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Det er den tredimensjonale ekvivalenten til en ellips, preget av å ha elliptiske og sirkulære spor i noen spesielle tilfeller. Spor er kurvene som oppnås ved å krysse ellipsoiden med et plan.
I tillegg til ellipsoiden er det fem andre kvadrikk: hyperboloid med ett ark og to ark, to typer paraboloid (hyperbolsk og elliptisk) og den elliptiske kjeglen. Sporene er også koniske.
Ellipsoiden kan også uttrykkes av standardligningen i kartesiske koordinater. En ellipsoid sentrert på opprinnelsen (0,0,0) og uttrykt på denne måten, ligner ellipsen, men med et tilleggsuttrykk:
Verdiene av til, b Y c er reelle tall større enn 0 og representerer de tre halvaksene til ellipsoiden.
Artikkelindeks
Standardligningen i kartesiske koordinater for ellipsen sentrert på punktet (h, k, m) Det er:
I sfæriske koordinater kan ellipsoiden beskrives som følger:
x = en synd θ. cos φ
y = b sin θ. sen φ
z = c cos θ
Halvaksene til ellipsoiden forblir a, b og c, mens parametrene er vinklene θ og φ i følgende figur:
Den generelle ligningen til en overflate i rommet er F (x, y, z) = 0 og sporene til overflaten er kurvene:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
I tilfelle av en ellipsoid, er slike kurver ellipser og noen ganger sirkler.
Volumet V av ellipsoiden er gitt av (4/3) π ganger produktet av de tre halvaksene:
V = (4/3) π. abc
-En ellipsoid blir en kule når alle halvaksene er like store: a = b = c ≠ 0. Dette er fornuftig, siden ellipsoiden er som en kule som har blitt strukket annerledes langs hver akse..
-Sfæroid er en ellipsoid der to av halvaksene er identiske og den tredje er forskjellig, for eksempel kan det være a = b ≠ c.
Sfæroid kalles også en ellipsoid av revolusjon, fordi den kan genereres ved å rotere ellipser rundt en akse.
Hvis rotasjonsaksen sammenfaller med hovedaksen, er sfæroiden prolate, men hvis det sammenfaller med mindre akse, er det oblate:
Mål på flatingen av sfæroiden (ellipticitet) er gitt av forskjellen i lengde mellom de to halvaksene, uttrykt i brøkform, det vil si at den er flatning av enheten, gitt av:
f = (a - b) / a
I denne ligningen representerer a semi-hovedaksen og b den semi-mindre aksen, husk at den tredje aksen er lik en av disse for en sfæroide. Verdien av f er mellom 0 og 1, og for en sfæroide må den være større enn 0 (hvis den var lik 0, ville vi ganske enkelt ha en sfære).
Planetene og stjernene generelt er vanligvis ikke perfekte kuler, fordi rotasjonsbevegelsen rundt deres akser flater kroppen ved polene og buler den ved ekvator..
Det er grunnen til at jorden viser seg å være som en avblåst sfæroid, men ikke så overdrevet som den i forrige figur, og for sin del er gassgiganten Saturn den flateste av planetene i solsystemet..
Så en mer realistisk måte å representere planetene på er å anta at de er som en sfæroide eller ellipsoid av revolusjon, hvis semi-hovedakse er ekvatorialradien og den semi-mindre aksen den polære radiusen..
Nøye målinger gjort på kloden har gjort det mulig å bygge referanse ellipsoid av jorden som den mest presise måten å arbeide den matematisk på.
Stjernene har også rotasjonsbevegelser som gir dem mer eller mindre flate former. Den raske stjernen Achernar, den åttende lyseste stjernen på nattehimmelen, i den sørlige konstellasjonen Eridanus er bemerkelsesverdig elliptisk sammenlignet med de fleste. Det er 144 lysår fra oss.
På den annen ytterpunkt fant forskere for noen år siden det mest sfæriske objektet som noen gang er funnet: stjernen Kepler 11145123, 5000 lysår unna, dobbelt så stor som vår sol og en forskjell mellom halvaksene på bare 3 km. Som forventet spinner det også saktere.
Når det gjelder jorden, er den ikke en perfekt sfæroide på grunn av dens robuste overflate og lokale variasjoner i tyngdekraften. Det er derfor det er mer enn én referansesfæroid tilgjengelig, og på hvert sted velges det mest passende for lokal geografi..
Hjelpen til satellitter er uvurderlig for å skape stadig mer nøyaktige modeller av jordens form, takket være dem er det for eksempel kjent at sørpolen er nærmere ekvator enn nordpolen..
På grunn av jordens rotasjon genereres en sentrifugalkraft som gir den formen til en avlang ellipsoid, i stedet for en kule. Jordens ekvatoriale radius er kjent for å være 3963 miles og polarradiusen er 3942 miles..
Finn ligningen til ekvatorialsporet, denne ellipsoiden og målingen på flatingen. Sammenlign også med ellipticiteten til Saturn, med dataene nedenfor:
-Ekvatorialradius av Saturn: 60268 km
-Saturn Polar Radius: 54,364 km
Det kreves et koordinatsystem, som vi antar sentrert på opprinnelsen (sentrum av jorden). Vi antar at den vertikale z-aksen og sporet som tilsvarer ekvator ligger på xy-planet, tilsvarende z = 0-planet.
I ekvatorialplanet er halvaksene a og b like, derfor a = b = 3963 miles, mens c = 3942 miles. Dette er et spesielt tilfelle: en sfæroide sentrert ved punktet (0,0,0) som angitt ovenfor.
Ekvatorialsporet er en sirkel med radius R = 3963 miles, sentrert ved opprinnelsen. Det beregnes ved å lage z = 0 i standardligningen:
Og standardligningen til den terrestriske ellipsoiden er:
F Land = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0,0053
F Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980
Merk at ellipticiteten f er en dimensjonsløs størrelse.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.