EN vektor plass er et ikke-tomt sett V= eller, v, w,..., hvis elementer er vektorer. Noen viktige operasjoner utføres med dem, blant hvilke følgende skiller seg ut:
- Summen mellom to vektorer u + v hvilke resultater z, som tilhører settet V.
- Multiplikasjon av et reelt tall α med en vektor v: α v hva gir en annen vektor Y som tilhører V.
For å betegne en vektor bruker vi fet (v er en vektor), og for skalarer eller tall er greske bokstaver (α er et tall).
Artikkelindeks
For at et vektorrom skal gis, må følgende åtte aksiomer være oppfylt:
1-byttbar: eller +v = v +eller
2-transitivitet: (eller + v) + w = eller + ( v + w)
3-Eksistensen av nullvektoren 0 slik at 0 + v = v
4-Eksistens av det motsatte: det motsatte av v Det er (-v) , som v + (-v) = 0
5-Distribusjon av produktet med hensyn til vektorsummen: α ( eller + v ) = αeller +αv
6-Distribusjon av produktet med hensyn til den skalære summen: (α + β)v = αv +βv
7-Associativitet av skalarproduktet: α (β v) = (α β)v
8-tallet 1 er det nøytrale elementet siden: 1v = v
Vektorer i (R²) -planet er et eksempel på et vektorrom. En vektor i planet er et geometrisk objekt som har både størrelse og retning. Den er representert av et orientert segment som tilhører nevnte plan og med en størrelse proporsjonal med størrelsen.
Summen av to vektorer i planet kan defineres som den geometriske translasjonsoperasjonen til den andre vektoren etter den første. Resultatet av summen er det orienterte segmentet som starter fra begynnelsen til det første og når toppen av det andre.
I figuren kan det sees at summen i R² er kommutativ.
Produktet av et tall α og en vektor er også definert. Hvis tallet er positivt, holdes retningen til den opprinnelige vektoren og størrelsen er α ganger den opprinnelige vektoren. Hvis tallet er negativt, er retningen motsatt, og størrelsen på den resulterende vektoren er den absolutte verdien av tallet.
Vektoren motsatt hvilken som helst vektor v Det er -v = (- 1) v.
Nullvektoren er et punkt i R²-planet, og tallet null ganger en vektor resulterer i nullvektoren.
Alt sagt er illustrert i figur 2.
Sett P av alle polynomer med grad mindre enn eller lik to, inkludert grad null, danner et sett som tilfredsstiller alle aksiomer i et vektorrom.
La polynomet P (x) = a x² + b x + c og Q (x) = d x² + e x + f
Summen av to polynomer er definert: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) x + (c + f)
Summen av polynomer som tilhører settet P er kommutativ og transitiv.
Nullpolynomet som tilhører settet P er den som har alle koeffisientene lik null:
0 (x) = 0 x² + 0 x + 0
Summen av en skalar α av et polynom er definert som: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ b x + α ∙ c
Det motsatte polynomet til P (x) er -P (x) = (-1) P (x).
Av alt ovenfor følger det at settet P av alle polynomer med en grad mindre enn eller lik to, er et vektorrom.
Sett M av alle matriser av m rader x n kolonner hvis elementer er reelle tall danner et reelt vektorrom, med hensyn til operasjonene for tilsetning av matriser og produkt av et tall med en matrise.
Settet F av kontinuerlige funksjoner av reell variabel, danner et vektorrom, siden det er mulig å definere summen av to funksjoner, multiplikasjonen av en skalar med en funksjon, nullfunksjonen og den symmetriske funksjonen. De oppfyller også aksiomene som kjennetegner et vektorrom.
Grunnlaget for et vektorrom er definert som et sett med lineært uavhengige vektorer slik at fra en lineær kombinasjon av dem kan en hvilken som helst vektor av dette vektorområdet genereres.
Linjær kombinasjon av to eller flere vektorer består i å multiplisere vektorene med noen skalarer og deretter legge dem til vektor.
For eksempel, i vektorområdet til vektorer i tre dimensjoner dannet av R3, brukes det kanoniske grunnlaget definert av enhetsvektorene (av størrelse 1) Jeg, j, k.
Hvor Jeg = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dette er de kartesiske eller kanoniske vektorene.
Enhver vektor V tilhørende R³ er skrevet som V = a Jeg + b j + c k, som er en lineær kombinasjon av basisvektorene Jeg, j, k. Skalarene eller tallene a, b, c er kjent som de kartesiske komponentene i V.
Det sies også at basisvektorene i et vektorrom danner et generatorsett av vektorområdet.
Dimensjonen til et vektorrom er hovednummeret til et vektorgrunnlag for det rommet; det vil si antall vektorer som utgjør basen.
Denne kardinalen er det maksimale antallet lineært uavhengige vektorer i det vektorområdet, og samtidig det minste antallet vektorer som danner et generatorsett av det rommet.
Basene i et vektorrom er ikke unike, men alle basene i det samme vektorområdet har samme dimensjon.
Et vektordelrom S for et vektorrom V er et delmengde av V hvor de samme operasjonene er definert som i V og oppfyller alle vektorromaksiomer. Derfor vil underområdet S også være et vektorrom.
Et eksempel på et vektorunderrom er vektorene som tilhører XY-planet. Dette underområdet er et delmengde av et vektorrom av dimensjonalitet større enn settet med vektorer som tilhører det tredimensjonale rommet XYZ.
Et annet eksempel på et vektors underrom S1 av vektorområdet S dannet av alle 2 × 2 matrikser med reelle elementer er definert nedenfor:
På den annen side, S2 definert nedenfor, selv om det er en delmengde av S, danner ikke et vektorunderområde:
La vektorene være V1= (1, 1, 0); V2= (0, 2, 1) og V3= (0, 0, 3) i R³.
a) Vis at de er lineært uavhengige.
b) Vis at de danner en base i R³, siden enhver trippel (x, y, z) kan skrives som en lineær kombinasjon av V1, V2, V3.
c) Finn komponentene i trippelen V = (-3,5,4) ved basen V1, V2, V3.
Kriteriet for å demonstrere lineær uavhengighet består i å etablere følgende sett med ligninger i α, β og γ
α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)
I tilfelle den eneste løsningen på dette systemet er α = β = γ = 0, er vektorene lineære uavhengige, ellers er de ikke.
For å oppnå verdiene til α, β og γ foreslår vi følgende ligningssystem:
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0
Den første fører til α = 0, den andre α = -2 ∙ β men siden α = 0 så er β = 0. Den tredje ligningen innebærer at γ = (- 1/3) β, men siden β = 0 så er γ = 0.
Det konkluderes med at det er et sett med lineært uavhengige vektorer i R³ .
La oss nå skrive trippelen (x, y, z) som en lineær kombinasjon av V1, V2, V3.
(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z
Hvor har du:
α = x
α + 2 β = y
β + 3 γ = z
Den første indikerer α = x, den andre β = (y-x) / 2 og den tredje γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. På denne måten har vi funnet generatorene til α, β og γ av en hvilken som helst triplett av R³
La oss gå videre for å finne komponentene i trippelen V = (-3,5,4) ved basen V1, V2, V3.
Vi erstatter de tilsvarende verdiene i uttrykkene som er funnet ovenfor for generatorene.
I dette tilfellet har vi: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0
Det er:
(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)
Sist:
V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3
Vi konkluderer med det V1, V2, V3 danne en basis i vektorrommet R³ av dimensjon 3.
Uttrykk polynomet P (t) = t² + 4t -3 som en lineær kombinasjon av P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t og P3 (t) = t + 3.
P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)
hvor tallene x, y, z skal bestemmes.
Multiplikasjon og gruppering av termer med samme grad i t gir:
t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)
Som fører oss til følgende ligningssystem:
x + 2y = 1
-2x -3y + z = 4
5x + 3z = -3
Løsningene til dette ligningssystemet er:
x = -3, y = 2, z = 4.
Det er:
P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)
Vis at vektorene v1= (1, 0, -1, 2); v2= (1, 1, 0, 1) og v3= (2, 1, -1, 1) av R4 er lineært uavhengige.
Vi kombinerer lineært de tre vektorene v1, v2, v3 og vi krever at kombinasjonen legger til null-elementet i R⁴
til v1 + b v2 + c v3 = 0
Nemlig,
a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)
Dette fører oss til følgende ligningssystem:
a + b + 2 c = 0
b + c = 0
-a - c = 0
2 a + b + c = 0
Å trekke fra det første og det fjerde har vi: -a + c = 0 som innebærer a = c.
Men hvis vi ser på den tredje ligningen, har vi det a = -c. Den eneste måten a = c = (- c) holder er at c er 0 og derfor vil a også være 0.
a = c = 0
Hvis vi erstatter dette resultatet i den første ligningen, konkluderer vi med at b = 0.
Til slutt a = b = c = 0, slik at det kan konkluderes med at vektorene v1, v2 og v3 er lineært uavhengige.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.