De matematisk håp eller forventet verdi av tilfeldig variabel X, betegnes som E (X) og er definert som summen av produktet mellom sannsynligheten for en tilfeldig hendelse og verdien av nevnte hendelse.
I matematisk form uttrykkes det som følger:
μ = E (X) = ∑ xJeg. P (xJeg) = x1.P (x1) + xto.P (xto) + x3.P (x3) + ...
Hvor xJeg er verdien av hendelsen og P (xJeg) dens sannsynlighet for forekomst. Summasjonen strekker seg over alle verdiene som X tillater. Og hvis disse er endelige, konvergerer den angitte summen til verdien E (X), men hvis summen ikke konvergerer, har variabelen ganske enkelt ingen forventet verdi.
Når det gjelder en kontinuerlig variabel x, variabelen kan ha uendelige verdier, og integralene erstatter summasjonene:
Her representerer f (x) sannsynlighetstetthetsfunksjon.
Generelt er den matematiske forventningen (som er et veid gjennomsnitt) ikke lik det aritmetiske gjennomsnittet eller gjennomsnittet, med mindre vi har å gjøre med diskrete fordelinger der hver begivenhet er like sannsynlig. Da, og først da:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xJeg
Hvor n er antall mulige verdier.
Konseptet er veldig nyttig i finansmarkeder og forsikringsselskaper, hvor sikkerhet ofte mangler, men det er sannsynligheter..
Artikkelindeks
Blant de viktigste egenskapene til matematisk forventning skiller følgende seg ut:
- Skilt: hvis X er positiv, vil E (X) være det også.
- Forventet verdi av en konstant: den forventede verdien av en reell konstant k er det konstante.
E (k) = k
- Linearitet i summen: forventningen om en tilfeldig variabel som igjen er summen av to variabler X og Y er summen av forventningene.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Multiplikasjon med en konstant: hvis den tilfeldige variabelen er av formen kX, hvor k er et konstant (et reelt tall), kommer det ut utenfor forventet verdi.
E (kX) = k E (X)
- Forventet verdi av produktet og uavhengighet mellom variabler: hvis en tilfeldig variabel er produktet av tilfeldige variabler X og Y, som er uavhengige, da er den forventede verdien av produktet produktet av de forventede verdiene.
E (X.Y) = E (X). E (Y)
- Tilfeldig variabel i skjemaet Y = aX + b: funnet ved å bruke de forrige egenskapene.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Generelt, ja Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xJeg). P [g (xJeg)]
- Bestill på forventet verdi: hvis X ≤ Y, så:
E (X) ≤ E (Y)
Siden det er forventede verdier for hver av dem.
Da den berømte astronomen Christian Huygens (1629-1695) ikke observerte himmelen, viet han seg til å studere, blant andre disipliner, sannsynlighet i sjansespill. Det var han som introduserte begrepet matematisk håp i sitt 1656-arbeid med tittelen: Resonnerer om pengespill.
Huygens fant at spill kunne klassifiseres på tre måter, basert på forventet verdi:
-Fordelsspill: E (X)> 0
-Rettferdige spill: E (X) = 0
-Handikappspill: E (X) < 0
Problemet er at den matematiske forventningen ikke alltid er lett å beregne i et sjansespill. Og når du kan, er resultatet noen ganger skuffende for de som lurer på om de skal satse eller ikke.
La oss prøve en enkel innsats: hoder eller haler, og taperen betaler $ 1 kaffe. Hva er den forventede verdien av dette spillet?
Sannsynligheten for at et hode blir rullet er ½, lik haler. Den tilfeldige variabelen er å få $ 1 eller tape $ 1, gevinsten er betegnet med + tegn og tapet ved tegn -.
Vi organiserer informasjonen i en tabell:
Vi multipliserer verdiene til kolonnene: 1. ½ = ½ og (-1). ½ = -½ og til slutt blir resultatene lagt til. Summen er 0, og det er et rettferdig spill der deltakerne ikke forventes å vinne eller tape.
Fransk rulett og lotteri er handikapspill der de fleste spillere taper. Senere er det en litt mer kompleks innsats i delen med løste øvelser.
Her er noen enkle eksempler der begrepet matematisk forventning er intuitivt og tydeliggjør begrepet:
Vi begynner med å rulle en ærlig terning. Hva er den forventede verdien av lanseringen? Hvis matrisen er ærlig og har 6 hoder, er sannsynligheten for at en hvilken som helst verdi (X = 1, 2, 3… 6) vil rulle 1/6, slik:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Den forventede verdien i dette tilfellet er lik gjennomsnittet, siden hvert ansikt har samme sannsynlighet for å komme ut. Men E (X) er ikke en mulig verdi, siden ingen hoder er verdt 3,5. Dette er fullt mulig i noen distribusjoner, selv om resultatet i dette tilfellet ikke hjelper spilleren mye..
La oss se et annet eksempel med to mynter.
To ærlige mynter kastes i luften, og vi definerer den tilfeldige variabelen X som antall hoder som blir rullet. Hendelsene som kan oppstå er følgende:
-Ingen hoder kommer opp: 0 hoder som tilsvarer 2 haler.
-Returnerer 1 hode og 1 haler eller haler.
-2 ansikter kommer ut.
La C være et hode og T en tetning, prøveområdet som beskriver disse hendelsene er som følger:
Sm = Seal-Seal; Seal-Face; Ansiktsforsegling; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Sannsynlighetene for at hendelsene skjer er:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Tabellen er bygget med oppnådde verdier:
I henhold til definisjonen gitt i begynnelsen beregnes den matematiske forventningen som:
μ = E (X) = ∑ xJeg. P (xJeg) = x1.P (x1) + xto.P (xto) + x3.P (x3) + ...
Erstatte verdier:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Dette resultatet tolkes slik: Hvis en person har nok tid til å gjøre et stort antall eksperimenter ved å vende de to myntene, forventes det at de får et hode på hver flipp..
Vi vet imidlertid at utgivelser med to etiketter er fullt mulig..
Ved å kaste to ærlige mynter gjøres følgende innsats: Hvis to hoder kommer ut, blir $ 3 vunnet, hvis 1 hode kommer ut, blir $ 1 vunnet, men hvis to frimerker kommer ut, må $ 5 betales. Beregn forventet gevinst på innsatsen.
Den tilfeldige variabelen X er verdiene pengene tar i innsatsen, og sannsynlighetene ble beregnet i forrige eksempel, derfor er tabellen over innsatsen:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Ettersom den forventede verdien er 0, er det rettferdig spill, så her forventes spilleren ikke å vinne og ikke å tape heller. Imidlertid kan innsatsbeløpene endres for å gjøre innsatsen til et handicapspill eller et handicapspill..
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.