De boolsk algebra o Boolsk algebra er den algebraiske notasjonen som brukes til behandling av binære variabler. Det dekker studiene av alle variabler som bare har to mulige resultater, komplementære og gjensidig utelukkende. For eksempel er variabler hvis eneste mulighet er sant eller usant, riktig eller feil, av eller på, grunnlaget for studiet av boolsk algebra..
Boolsk algebra utgjør grunnlaget for digital elektronikk, noe som gjør den ganske tilstede i dag. Det styres av begrepet logiske porter, der operasjonene som er kjent i tradisjonell algebra, er særlig berørt.
Artikkelindeks
Boolsk algebra ble introdusert i 1854 av den engelske matematikeren George Boole (1815 - 1864), som var en selvlært forsker på den tiden. Hans bekymring oppstod fra en eksisterende tvist mellom Augustus De Morgan og William Hamilton om parametrene som definerer dette logiske systemet.
George Boole hevdet at definisjonen av de numeriske verdiene 0 og 1 tilsvarer, i logikkfeltet, tolkningen Ingenting og univers henholdsvis.
George Boole hadde til hensikt å definere, gjennom egenskapene til algebra, uttrykkene for proposisjonslogikk som er nødvendige for å håndtere variabler av binær type.
I 1854 ble de viktigste delene av boolsk algebra publisert i boka “En undersøkelse av tankelovene som de matematiske teoriene om logikk og sannsynlighet bygger på ".
Denne merkelige tittelen vil bli oppsummert senere som “Tankelovene ”. Tittelen steg til berømmelse på grunn av den umiddelbare oppmerksomheten den fikk fra datidens matematiske samfunn..
I 1948 brukte Claude Shannon den på utformingen av bistabile elektriske bryterkretser. Dette fungerte som en introduksjon til anvendelsen av boolsk algebra innenfor hele den elektronisk-digitale ordningen..
Elementærverdiene i denne typen algebra er 0 og 1, som tilsvarer henholdsvis FALSE og TRUE. De grunnleggende operasjonene i boolsk algebra er 3:
- OG drift eller sammenheng. Representert av en periode (.). Produktsynonym.
- ELLER drift eller disjunksjon. Representeres av et kryss (+). Synonym til summen.
- IKKE drift eller negasjon. Representeres av prefikset IKKE (IKKE A). Også kjent som et komplement.
Hvis i et sett A2 defineres 2 lover med intern sammensetning betegnet som produkt og sum (. +), Sies trippelen (A. +) å være en boolsk algebra hvis og bare hvis trippelen oppfyller vilkåret om å være en gitterfordeling.
For å definere et distribuerende gitter må fordelingsbetingelsene oppfylles mellom de gitte operasjonene:
. er fordelende med hensyn til summen + til . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ er distribuerende med hensyn til produktet. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Elementene som utgjør settet A, må være binære og dermed ha verdier på univers eller ugyldig.
Dens viktigste applikasjonsscenario er den digitale grenen, der den tjener til å strukturere kretsene som utgjør de logiske operasjonene som er involvert. Kunsten med kretsens enkelhet for å optimalisere prosesser er resultatet av riktig anvendelse og praksis av boolsk algebra..
Fra utarbeidelsen av elektriske paneler, som går gjennom overføring av data, til programmering på forskjellige språk, kan vi ofte finne boolsk algebra i alle slags digitale applikasjoner..
Boolske variabler er veldig vanlige i strukturen til programmering. Avhengig av hvilket programmeringsspråk som brukes, vil det være strukturelle operasjoner i koden som bruker disse variablene. Betingelsene og argumentene til hvert språk tillater boolske variabler å definere prosessene.
Det er teoremer som styrer de strukturelle logiske lovene til boolsk algebra. På samme måte er det postulater for å kjenne til de mulige resultatene i forskjellige kombinasjoner av binære variabler, avhengig av operasjonen som utføres..
Operatøren ELLER hvis logiske element er foreningen (U) er definert for binære variabler som følger:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Operatøren OG hvis logiske element er skjæringspunktet (∩) er definert for binære variabler som følger:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
Operatøren IKKE hvis logiske element er komplementet (X) 'er definert for binære variabler som følger:
IKKE 0 = 1
IKKE 1 = 0
Mange av postulatene skiller seg fra deres kolleger innen konvensjonell algebra. Dette skyldes domenet til variablene. Hvis du for eksempel legger til universelementer i boolsk algebra (1 + 1), kan det ikke gi det konvensjonelle resultatet av 2, fordi det ikke tilhører elementene i det binære settet.
Enhver enkel operasjon som involverer et element med binære variabler, er definert:
0 + A = A.
1 + A = 1
0. A = 0
1 . A = A
Operasjoner mellom like variabler er definert som:
A + A = A.
TIL . A = A
Enhver operasjon mellom en variabel og dens komplement er definert som:
A + IKKE A = 1
TIL . IKKE A = 0
Enhver dobbel negasjon vil bli betraktet som den naturlige variabelen.
IKKE (IKKE A) = A
A + B = B + A; Kommutativitet av summen.
TIL . B = B. TIL ; Produktkommutativitet.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associativitet av summen.
TIL . (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Produktassosiativitet.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Fordeling av summen i forhold til produktet.
TIL . (B + C) = (A. B) + (A + C); Distribusjon av produktet i forhold til summen.
Det er mange absorpsjonslover blant flere referanser, noen av de mest kjente er:
TIL . (A + B) = A
TIL . (IKKE A + B) = A. B
IKKE A (A + B) = IKKE A. B
(A + B). (A + IKKE B) = A
A + A. B = A
A + IKKE A. B = A + B
IKKE A + A. B = IKKE A + B
TIL . B + A. IKKE B = A
De er transformasjonslover, som håndterer par variabler som samhandler mellom de definerte operasjonene til boolsk algebra (+.).
IKKE (A. B) = IKKE A + IKKE B
IKKE (A + B) = IKKE A. IKKE B
A + B = IKKE (IKKE A + IKKE B)
TIL . B = IKKE (IKKE A. IKKE B)
Alle postulater og teoremer har fakultetet for dualitet. Dette innebærer at ved å utveksle variablene og operasjonene blir den resulterende proposisjonen bekreftet. Det vil si når du bytter 0 for 1 og AND for OR eller omvendt; det opprettes et uttrykk som også vil være helt gyldig.
For eksempel hvis du tar postulatet
1 . 0 = 0
Og dualitet blir brukt
0 + 1 = 1
Et annet perfekt gyldig postulat oppnås.
Karnaugh-kartet er et diagram som brukes i boolsk algebra for å forenkle logiske funksjoner. Den består av et todimensjonalt arrangement som ligner sannhetstabellene for proposisjonslogikk. Dataene fra sannhetstabellene kan fanges direkte på Karnaugh-kartet.
Karnaugh-kartet har plass til prosesser med opptil 6 variabler. For funksjoner med et høyere antall variabler anbefales bruk av programvare for å forenkle prosessen.
Foreslått i 1953 av Maurice Karnaugh, ble det etablert som et fast verktøy innen boolsk algebra, fordi implementeringen synkroniserer menneskelig potensial med behovet for å forenkle boolske uttrykk, et sentralt aspekt i flytningen av digitale prosesser..
Boolsk algebra brukes til å redusere logiske porter i en krets, hvor prioriteten er å bringe kretsens kompleksitet eller nivå til sitt lavest mulige uttrykk. Dette skyldes beregningsforsinkelsen som hver port antar.
I det følgende eksemplet vil vi observere forenklingen av et logisk uttrykk til minimumsuttrykket, ved bruk av setninger og postulater til boolsk algebra..
IKKE (AB + A + B). IKKE (A + IKKE B)
IKKE [A (B + 1) + B]. IKKE (A + IKKE B); Faktoring A med en felles faktor.
IKKE [A (1) + B]. IKKE (A + IKKE B); Etter setning A + 1 = 1.
IKKE (A + B). IKKE (A + IKKE B); av teorem A. 1 = A
(IKKE A. IKKE B). [ MERK . IKKE (IKKE B)];
Av Morgans teorem IKKE (A + B) = IKKE A. IKKE B
(IKKE A. IKKE B). (IKKE A. B); Ved dobbel negasjonssetning IKKE (IKKE A) = A
MERK . IKKE B. MERK . B; Algebraisk gruppering.
MERK . MERK . IKKE B. B; Kommutativitet for produkt A. B = B. TIL
MERK . IKKE B. B; Av teorem A. A = A
MERK . 0; Av teorem A. IKKE A = 0
0; Av teorem A. 0 = 0
TIL . B. C + IKKE A + A. IKKE B. C
TIL . C. (B + IKKE B) + IKKE A; Factoring (A. C) med felles faktor.
TIL . C. (1) + IKKE A; Etter setning A + IKKE A = 1
TIL . C + IKKE A; Etter null setning og enhet 1. A = A
IKKE A + C ; I følge Morgan A + IKKE A. B = A + B
For denne løsningen må Morgans lov utvides til å definere:
IKKE (IKKE A). C + IKKE A = IKKE A + C
Fordi IKKE (IKKE A) = A ved involusjon.
MERK . IKKE B. IKKE C + IKKE A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE C til minimum uttrykk
MERK . IKKE B. (IKKE C + C) + IKKE A. IKKE C; Faktoring (IKKE A. IKKE B) med felles faktor
MERK . IKKE B. (1) + IKKE A. IKKE C; Etter setning A + IKKE A = 1
(IKKE A. IKKE B) + (IKKE A. IKKE C); Etter null setning og enhet 1. A = A
IKKE A (IKKE B + IKKE C); Factoring IKKE A med en felles faktor
MERK . IKKE (B. C); I følge Morgan lover NOT (A. B) = NOT A + NOT B
IKKE [A + (B. C)] I følge Morgan lover NOT (A. B) = NOT A + NOT B
Et av de fire alternativene med fet skrift representerer en mulig løsning for å redusere nivået på kretsen
(A. IKKE B. C + A. IKKE B. B. D + IKKE A. IKKE B). C
(A. IKKE B. C + A. 0. D + IKKE A. IKKE B). C; Av teorem A. IKKE A = 0
(A. IKKE B. C + 0 + IKKE A. IKKE B). C; Av teorem A. 0 = 0
(A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE B). C; Etter setning A + 0 = A.
TIL . IKKE B. C. C + IKKE A. IKKE B. C; Ved distribusjon av produktet i forhold til summen
TIL . IKKE B. C + IKKE A. IKKE B. C; Av teorem A. A = A
IKKE B. C (A + IKKE A) ; Faktoring (IKKE B. C) med felles faktor
IKKE B. C (1); Etter setning A + IKKE A = 1
IKKE B. C; Etter null setning og enhet 1. A = A
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.