Metoden for Minste firkanter det er en av de viktigste applikasjonene i tilnærming av funksjoner. Tanken er å finne en kurve slik at, gitt et sett med ordnede par, denne funksjonen best tilnærmer seg dataene. Funksjonen kan være en linje, en kvadratisk kurve, en kubikk, etc..
Ideen til metoden består i å minimere summen av kvadrater av forskjellene i ordinaten (Y-komponent), mellom punktene som genereres av den valgte funksjonen og punktene som tilhører datasettet.
Artikkelindeks
Før vi gir metoden, må vi først være tydelige på hva “bedre tilnærming” betyr. Anta at vi ser etter en linje y = b + mx som er den som best representerer et sett med n poeng, nemlig (x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn).
Som vist i forrige figur, hvis variablene x og y var relatert av linjen y = b + mx, ville den tilsvarende verdien av y for x = x1 være b + mx1. Imidlertid er denne verdien forskjellig fra den sanne verdien av y, som er y = y1.
Husk at i flyet er avstanden mellom to punkter gitt av følgende formel:
Med dette i bakhodet, for å bestemme måten å velge linjen y = b + mx som best tilnærmer de gitte dataene, virker det logisk å bruke som kriterium valget av linjen som minimerer summen av kvadratene til avstandene mellom poeng og rett.
Siden avstanden mellom punktene (x1, y1) og (x1, b + mx1) er y1- (b + mx1), reduseres problemet vårt til å finne tall m og b slik at følgende sum er minimal:
Linjen som oppfyller denne betingelsen er kjent som "tilnærming av minste kvadratlinje til punktene (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".
Når problemet først er oppnådd, gjenstår det bare å velge en metode for å finne tilnærming med minste kvadrat. Hvis punktene (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) alle er på linjen y = mx + b, vil vi ha at de er kollinære y:
I dette uttrykket:
Til slutt, hvis punktene ikke er kollinære, så kan y-Au = 0 og problemet oversettes til å finne en vektor u slik at den euklidiske normen er minimal.
Å finne minimeringsvektoren u er ikke så vanskelig som du kanskje tror. Siden A er en nx2-matrise og u er en 2 × 1-matrise, har vi at vektoren Au er en vektor i Rn y tilhører bildet av A, som er et underområde av Rn med en dimensjon ikke større enn to.
Vi antar at n = 3 for å vise hvilken fremgangsmåte vi skal følge. Hvis n = 3, vil bildet av A være et plan eller en linje som går gjennom opprinnelsen.
La v være minimeringsvektoren. I figuren observerer vi at y-Au minimeres når det er ortogonalt i forhold til bildet av A. Det vil si at hvis v er minimeringsvektoren, skjer det at:
Deretter kan vi uttrykke det ovennevnte på denne måten:
Dette kan bare skje hvis:
Til slutt, å løse for v, har vi:
Det er mulig å gjøre dette siden AtA er inverterbar så lenge n-punktene gitt som data ikke er kollinære.
Nå, hvis vi i stedet for å lete etter en linje ønsket å finne en parabel (hvis uttrykk ville ha formen y = a + bx + cxto) som ville være en bedre tilnærming til n datapunktene, ville prosedyren være som beskrevet nedenfor.
Hvis n datapunktene var i parabolen, ville vi ha:
Seinere:
På samme måte kan vi skrive y = Au. Hvis alle punktene ikke er i parabolen, har vi at y-Au er forskjellig fra null for enhver vektor u, og problemet vårt er igjen: finn en vektor u i R3 slik at dens norm || y-Au || være så liten som mulig.
Når vi gjentar den forrige prosedyren, kan vi komme frem til at den søkt vektoren er:
Finn linjen som passer best til punktene (1,4), (-2,5), (3, -1) og (4,1).
Vi må:
Seinere:
Derfor konkluderer vi med at linjen som passer best til poengene er gitt av:
Anta at en gjenstand faller fra en høyde på 200 m. Når det faller, blir følgende skritt tatt:
Vi vet at høyden på nevnte gjenstand, etter en tid t har gått, er gitt av:
Hvis vi ønsket å oppnå verdien av g, kan vi se etter en parabel som er en bedre tilnærming til de fem punktene gitt i tabellen, og dermed ville vi ha at koeffisienten som følger med tto vil være en rimelig tilnærming til (-1/2) g hvis målingene er nøyaktige.
Vi må:
Og senere:
Så datapunktene passer med følgende kvadratiske uttrykk:
Så du må:
Dette er en verdi som er rimelig nær korrekt, som er g = 9,81 m / sto. For å få en mer nøyaktig tilnærming av g, ville det være nødvendig å starte med mer presise observasjoner.
I problemene som oppstår innen naturvitenskap eller samfunnsvitenskap, er det praktisk å skrive sammenhenger som eksisterer mellom forskjellige variabler ved hjelp av noe matematisk uttrykk..
For eksempel kan vi i økonomi relatere kostnad (C), inntekt (I) og fortjeneste (U) ved hjelp av en enkel formel:
I fysikk kan vi relatere akselerasjonen forårsaket av tyngdekraften, tiden et objekt har falt, og høyden på objektet ved lov:
I forrige uttrykk seller er den opprinnelige høyden på objektet og veller er dens innledende hastighet.
Imidlertid er det ikke lett å finne formler som disse; det er vanligvis opp til fagpersonen på vakt å jobbe med mye data og gjentatte ganger utføre flere eksperimenter (for å verifisere at resultatene som oppnås er konstante) for å finne sammenhenger mellom de forskjellige dataene.
En vanlig måte å oppnå dette på er å representere dataene som er oppnådd i et plan som punkter og se etter en kontinuerlig funksjon som optimalt tilnærmer disse punktene..
En av måtene å finne funksjonen som "best tilnærmer" de gitte dataene, er ved metoden med minste kvadrat..
I tillegg, som vi også så i øvelsen, kan vi takket være denne metoden få ganske nærme tilnærminger til fysiske konstanter.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.