Sirkulære permutasjoner demonstrasjon, eksempler, løste øvelser

De sirkulære permutasjoner de er forskjellige typer grupperinger av alle elementene i et sett, når disse må ordnes i sirkler. I denne typen permutasjoner er ordren viktig, og elementene blir ikke gjentatt.

Anta for eksempel at du vil vite antall forskjellige matriser for sifrene en til fire, og plassere hvert tall på en av toppunktene i en rombe. Dette vil være totalt 6 arrangementer:

Det skal ikke forveksles at nummer én er i rombeens øvre posisjon i alle tilfeller som en fast posisjon. Sirkulære permutasjoner endres ikke av rotasjonen av matrisen. Følgende er en eller samme permutasjon:

Artikkelindeks

• 1 Demonstrasjon og formler
• 2 Eksempler
  • 2.1 Eksempel 1
  • 2.2 Eksempel 2
• 3 Løst øvelser
  • 3.1 - Øvelse 1
  • 3.2 - Øvelse 2
• 4 Referanser

Demo og formler

I eksemplet med de forskjellige firesifrede sirkulære matriser som ligger ved hjørnepunktene til en rombe, kan antall matriser (6) bli funnet slik:

1- Ethvert av de fire sifrene tas som utgangspunkt ved en av toppunktene og går videre til neste toppunkt. (det spiller ingen rolle om det dreies med eller mot klokken)

2- Det er 3 alternativer igjen for å velge det andre toppunktet, så er det to alternativer for å velge det tredje toppunktet, og selvfølgelig er det bare ett valgalternativ igjen for det fjerde toppunktet.

3- Dermed oppnås antallet sirkulære permutasjoner, betegnet med (4 - 1) P (4 - 1), av produktet av valgalternativene i hver posisjon:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 forskjellige firesifrede sirkulære matriser.

Generelt er antall sirkulære permutasjoner som kan oppnås med alle n elementene i et sett:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2) ... (2) (1)

Merk at (n - 1)! er kjent som n faktor og forkorter produktet av alle tall fra nummeret (n - 1) til nummer én, begge inkludert.

Eksempler

Eksempel 1

Hvor mange forskjellige måter må 6 personer sitte ved et sirkulært bord??

Du vil finne antall forskjellige måter 6 personer kan sitte rundt et rundt bord på.

Antall måter å sitte på = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Antall måter å sitte på = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskjellige måter

Eksempel 2

Hvor mange forskjellige måter har 5 personer for å lokalisere seg på toppunktene i en femkant??

Antall måter man kan finne 5 personer på i hver av toppunktene i en femkant.

Antall måter å lokalisere seg på = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Antall måter å lokaliseres på = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige måter

Løst øvelser

- Øvelse 1

En gullsmed anskaffer 12 forskjellige edelstener for å plassere dem i tidene på klokken som han forbereder på vegne av kongehuset i et europeisk land.

a) Hvor mange forskjellige måter har hun for å ordne steinene på klokken?

b) Hvor mange forskjellige former har den hvis steinen som går til klokka 12 er unik?

c) Hvor mange forskjellige former hvis klokka 12 er unik og steinene til de andre tre kardinalpunktene, klokka 3, 6 og 9; det er tre bestemte steiner som kan byttes ut, og resten av timene tildeles fra resten av steinene?

Løsninger

a) Antall måter å bestille alle steinene på klokkens omkrets er forespurt; det vil si antall sirkulære ordninger som involverer alle tilgjengelige steiner.

Antall ordninger i klokken = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antall fikser på klokken = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall ordninger på klokken = 39976800 forskjellige former

b) Han lurer på hvor mange forskjellige måter å bestille på, vel vitende om at steinen på klokken 12 er unik og fast; det vil si antall sirkulære ordninger som involverer de resterende 11 steinene.

Antall ordninger i klokken = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antall fikser på klokken = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall ordninger på klokken = 3.628.800 forskjellige former

c) Til slutt søkes antall måter å bestille alle steinene på, bortsett fra klokka 12 som er festet, 3, 6 og 9 steiner som har 3 steiner som skal tildeles blant dem; det vil si 3! arrangementsmuligheter, og antall sirkulære ordninger som involverer de resterende 8 steinene.

Antall ordninger i klokken = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!

Antall ordninger i klokken = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antall ordninger på klokken = 241920 forskjellige former

- Øvelse 2

Styringsgruppen til et selskap består av åtte medlemmer og de møtes ved et ovalt bord.

a) Hvor mange forskjellige former for tilrettelegging rundt bordet har komiteen??

b) Anta at formannen sitter øverst på bordet i en hvilken som helst komitéordning, hvor mange forskjellige ordninger har resten av komiteen??

Anta at visepresidenten og sekretæren sitter på sidene av presidenten i ethvert utvalg av komiteen.?

Løsninger

a) Vi vil finne antall forskjellige måter å bestille de 12 medlemmene i komiteen rundt det ovale bordet.

Antall komitearrangementer = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antall komitéordninger = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall komitearrangementer = 39976800 forskjellige former

b) Siden komiteens leder er i en fast stilling, blir det søkt antall måter å bestille de resterende 11 komitémedlemmene rundt det ovale bordet.

Antall komitearrangementer = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antall komitéordninger = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall komitéarrangementer = 3.628.800 forskjellige former

c) Presidenten er i en fast posisjon og til sidene er visepresident og sekretær med to muligheter for ordning: visepresident til høyre og sekretær til venstre eller visepresident til venstre og sekretær til høyre. Deretter vil du finne antall forskjellige måter å bestille de 9 gjenværende medlemmene av komiteen rundt det ovale bordet og multiplisere med de 2 former for ordninger som visepresidenten og sekretæren har..

Antall komitearrangementer = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]

Antall komitearrangementer = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antall komitéordninger = 80640 forskjellige former

Referanser

1. Boada, A. (2017). Bruk av permutasjon med repetisjon som undervisning i eksperimenter. Vivat Academia Magazine. Gjenopprettet fra researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sannsynlighet og statistikk. Søknader og metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A. de C. V.
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Statistiske metoder som ikke brukes på samfunnsvitenskapene. Prentice Hall Hispanoamericana S. A.
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistikk. Fjerde utgave McGraw-Hill / Interamericana de México S. A.
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Sannsynlighet og statistikk for ingeniører og forskere. Åttende utgave. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistikk anvendt på næringsliv og økonomi. Tredje utg. McGraw-Hill / Interamericana S. A.
7. Wikipedia. (2019). Permutasjon. Gjenopprettet fra en.wikipedia.org.