EN kraftserie består av en oppsummering av vilkår i form av krefter til variabelen x, eller mer generelt, av x-c, hvor c er konstant reeltall. I summeringsnotasjon uttrykkes en rekke krefter slik:
∑an (x -c)n = aeller + til1 (x - c) + ato (x - c)to + til3 (x - c)3 +… + An (x - c)n
Hvor koeffisientene aeller, til1, tilto… Er reelle tall og serien starter på n = 0.
Denne serien er fokusert på verdi c som er konstant, men du kan velge hvilken c er lik 0, i hvilket tilfelle effektserien forenkles til:
∑an xn = aeller + til1 x + ato xto + til3 x3 +… + An xn
Serien begynner med tileller(x-c)0 Y tilellerx0 henholdsvis. Men vi vet at:
(x-c)0= x0 = 1
Derfor tileller(x-c)0 = tilellerx0 = tileller (uavhengig begrep)
Det gode med power-serien er at du kan uttrykke funksjoner med dem, og dette har mange fordeler, spesielt hvis du vil jobbe med en komplisert funksjon.
Når dette er tilfelle, i stedet for å bruke funksjonen direkte, brukes utvidelsen i kraftserier, som kan være lettere å utlede, integrere eller jobbe numerisk..
Selvfølgelig er alt betinget av konvergensen i serien. En serie konvergerer når du legger til et bestemt stort antall vilkår gir en fast verdi. Og hvis vi fortsatt legger til flere vilkår, fortsetter vi å oppnå den verdien.
Artikkelindeks
La oss ta et eksempel på en funksjon uttrykt som en kraftserie f (x) = ex.
Denne funksjonen kan uttrykkes som en rekke krefter som følger:
ogx ≈ 1 + x + (xto / 2!) + (X3 / 3!) + (X4 / 4!) + (X5 / 5!) +…
Hvor! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ... og det tar 0! = 1.
Vi skal sjekke ved hjelp av en kalkulator at serien faktisk faller sammen med funksjonen gitt eksplisitt. La oss for eksempel starte med å lage x = 0.
Vi vet at e0 = 1. La oss se hva serien gjør:
og0 ≈ 1 + 0 + (0to / 2!) + (03 / 3!) + (04 / 4!) + (05 / 5!) +… = 1
Og nå skal vi prøve med x = 1. En kalkulator viser det og1 = 2.71828, og la oss sammenligne med serien:
og1 ≈ 1 + 1 + (1to / 2!) + (13 / 3!) + (14 / 4!) + (15 / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167
Med bare fem perioder har vi allerede en nøyaktig samsvar e ≈ 2,71. Serien vår har bare litt mer å gå, men etter hvert som flere ord legges til, konvergerer serien absolutt til den eksakte verdien av og. Representasjonen er nøyaktig når n → ∞.
Hvis analysen ovenfor gjentas til n = 2 veldig like resultater oppnås.
På denne måten er vi sikre på at den eksponentielle funksjonen f (x) = ex kan representeres av denne maktserien:
Funksjonen f (x) = ex det er ikke den eneste funksjonen som støtter en Power Series-representasjon. For eksempel funksjonen F(x) = 1/1 - x ser mye ut som den kjente konvergerende geometriske serier:
∑a.rn = a / 1 - r
Det er nok å gjøre a = 1 og r = x for å oppnå en serie som passer for denne funksjonen, som er sentrert ved c = 0:
Det er imidlertid kjent at denne serien er konvergent for │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.
Når du vil definere denne funksjonen i et annet intervall, fokuserer du ganske enkelt på en passende verdi, og du er ferdig..
Enhver funksjon kan utvikles i en kraftserie sentrert på c, så lenge den har derivater av alle ordrer ved x = c. Fremgangsmåten bruker følgende setning, kalt Taylors teorem:
La f (x) være en funksjon med derivater av orden n, betegnet som F(n), som innrømmer en serieutvidelse av krefter i intervallet Jeg. Dens utvikling i taylor-serien Det er:
Så det:
f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)to / 2 + f "(c) (x-c)3 / 6 + ... Rn
Hvor Rn, som er den niende termen i serien, kalles rester:
Når c = 0 kalles serien Maclaurin-serien.
Denne serien gitt her er identisk med serien gitt i begynnelsen, bare nå har vi en måte å eksplisitt finne koeffisientene til hvert begrep, gitt av:
Det må imidlertid sikres at serien konvergerer til funksjonen som skal representeres. Det hender at ikke alle Taylor-serier nødvendigvis konvergerer til f (x) som man hadde i tankene når man beregnet koeffisientene tiln.
Dette skjer fordi kanskje derivatene av funksjonen, evaluert i x = c sammenfaller med den samme verdien av derivatene til en annen, også i x = c. I dette tilfellet ville koeffisientene være de samme, men utviklingen ville være tvetydig da det ikke er sikkert hvilken funksjon den tilsvarer..
Heldigvis er det en måte å vite:
Konvergenskriterium
For å unngå tvetydighet, hvis Rn → 0 når n → ∞ for alle x i intervallet I, konvergerer serien til f (x).
Finn Geometric Power Series for funksjonen f (x) = 1/2 - x sentrert ved c = 0.
Den gitte funksjonen må uttrykkes på en slik måte at den sammenfaller så tett som mulig med 1 / 1- x, hvis serie er kjent. La oss derfor omskrive teller og nevner uten å endre det originale uttrykket:
1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]
Siden ½ er konstant, kommer den ut av summeringen, og den skrives i form av den nye variabelen x / 2:
Merk at x = 2 ikke tilhører funksjonens domene, og i henhold til konvergenskriteriet gitt i avsnitt Geometrisk kraftserie, utvidelsen er gyldig i │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.
Finn de første 5 vilkårene i utvidelsen av Maclaurin-serien av funksjonen f (x) = sin x.
Derivater blir først funnet:
-Derivat av orden 0: det er den samme funksjonen f (x) = sin x
-Første derivat: (sin x) '= cos x
-Andre avledede: (sin x) "= (cos x) '= - sin x
-Tredje derivat: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x
-Fjerde derivat: (sin x) "= (- cos x) '= sin x
Deretter blir hvert derivat evaluert til x = c, som en Maclaurin-utvidelse, c = 0:
sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0
Koeffisientene a er konstruertn;
tileller = 0/0! = 0; til1 = 1/1! = 1; tilto = 0/2! = 0; til3 = -1 / 3! til4 = 0/4! = 0
Til slutt er serien satt sammen i henhold til:
sin x ≈ 0.x0 + 1. x1 + 0 .xto - (1/3!) X3 + 0.x4… = X - (1/3!)) X3 +...
Trenger leseren flere vilkår? Hvor mange flere kommer serien nærmere funksjonen.
Merk at det er et mønster i koeffisientene, neste ikke-null sikt er a5 og alle de med odde indekser er også forskjellige fra 0, alternerende tegn, slik at:
sin x ≈ x - (1/3!)) x3 + (1/5!)) X5 - (1/7!)) X7 +... .
Det er igjen som en øvelse for å kontrollere at den konvergerer, du kan bruke kvotientkriterium for seriekonvergens.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.