De Green's teorem er en beregningsmetode som brukes til å relatere linjeintegraler med dobbeltareal eller overflateintegraler. Funksjonene som er involvert må betegnes som vektorfelt og defineres i banen C.
For eksempel kan et linjeintegralt uttrykk være veldig vanskelig å løse; men ved å implementere Greens teorem blir doble integraler ganske grunnleggende. Det er alltid viktig å respektere den positive retningen til banen, dette refererer til retning mot klokken.
Greens teorem er et spesielt tilfelle av Stokes teorem, der projeksjonen av vektorfunksjonen utføres i xy-planet.
Artikkelindeks
Uttrykket av Green's Theorem er som følger:
Det første begrepet viser linjens integral definert av banen "C", for skalarproduktet mellom vektorfunksjonen "F" og den for vektoren "r".
C: Det er den definerte banen som vektorfunksjonen skal projiseres på så lenge den er definert for det planet.
F: Vektorfunksjon, hvor hver av komponentene er definert av en funksjon som sådan (f, g).
r: Det er en vektor som tangerer regionen R som integralet er definert over. I dette tilfellet opererer vi med en differensial av denne vektoren.
I det andre begrepet ser vi Green's teorem utviklet, hvor den doble integralen definert i regionen R av forskjellen mellom partielle derivater av g og f, med hensyn til henholdsvis x og y, blir observert. Ved en arealdifferensial som ikke er noe mer enn produktet av begge todimensjonale differensialer (dx.dy).
Denne teoremet er perfekt anvendelig for rom- og overflateintegraler.
For å bevise Greens teori på en enkel måte, vil denne oppgaven bli delt inn i to deler. Først vil vi anta at vektorfunksjonen F bare har definisjon i versoren Jeg. Mens funksjonen "g" tilsvarer versor j vil være lik null.
F = f (x, y)Jeg + g (x, y)j = f (x, y)Jeg + 0
r = xJeg + Yj
dr = dxJeg + dyj
Først utvikler vi linjen integrert over banen C, for hvilken banen er blitt sektorisert i to seksjoner som går først fra a til b og deretter fra b til a.
Definisjonen av den grunnleggende setningen til kalkulus brukes for en bestemt integral.
Uttrykket omorganiseres til en enkelt integral, det negative gjøres til en felles faktor og rekkefølgen på faktorene blir reversert.
Når vi observerer dette uttrykket i detalj, blir det tydelig at når vi bruker de primitive funksjonskriteriene, er vi i nærvær av integralet av uttrykket avledet fra f med hensyn til y. Evalueres i parametere
Nå er det nok å anta at vektorfunksjonen F bare er definert for g (x, y)j. Når du opererer på en måte som ligner på forrige tilfelle, oppnås følgende:
For å fullføre blir de to bevisene tatt og slått sammen i tilfelle der vektorfunksjonen tar verdier for begge versores. På denne måten vises det hvordan linjens integral etter å ha blitt definert og betraktet som en endimensjonal bane, kan utvikles fullt ut for planet og rommet.
F = f (x, y)Jeg + g (x, y)j
På denne måten bevises Greens teorem.
Anvendelsen av Greens teorem er bred i grenene av fysikk og matematikk. Disse strekker seg til ethvert program eller bruk som kan gis til linjeintegrasjon.
Det mekaniske arbeidet som utføres av en kraft F gjennom en bane C, kan utvikles av en linjeintegral som uttrykkes som en dobbel integral av et område ved hjelp av Green's setning.
Treghetsmomentene til mange kropper som er utsatt for eksterne krefter på forskjellige bruksområder, reagerer også på linjelintegraler som kan utvikles med Greens teorem..
Dette har flere funksjoner i motstandsstudier av materialer under bruk. Hvor eksterne verdier kan kvantifiseres og tas i betraktning før utarbeidelsen av ulike elementer.
Generelt forenkler Greens teorem forståelse og definisjon av områdene der vektorfunksjoner er definert med hensyn til en region i henhold til en bane.
Den ble publisert i 1828 i arbeidet Matematisk analyse til teoriene om elektrisitet og magnetisme, skrevet av den britiske matematikeren George Green. I den utforskes ganske avgjørende deler i anvendelsen av kalkulus i fysikk, slik som begrepet potensielle funksjoner, Greens funksjoner og anvendelsene av hans selvtitulerte setning.
George Green formaliserte studentkarrieren i en alder av 40 år, og var til nå en helt selvlært matematiker. Etter å ha studert ved University of Cambridge, fortsatte han sin forskning og ga bidrag til akustikk, optikk og hydrodynamikk som fortsatt er gyldig i dag..
Greens teorem er et spesielt tilfelle, og det stammer fra 2 andre veldig viktige teoremer innen beregningsfeltet. Dette er Kelvin-Stokes-teoremet og divergenssetningen eller Gauss Ostrogradski.
Med utgangspunkt i en av de to setningene er det mulig å komme fram til Green's teorem. Visse definisjoner og proposisjoner er nødvendige for å utvikle slike bevis..
- Følgende oppgave viser hvordan man kan transformere en linjeintegral til en dobbel integral i forhold til en region R.
Det opprinnelige uttrykket er følgende:
Fra der funksjonene som tilsvarer f og g er hentet
f (x, y) = x3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Det er ingen eneste måte å definere grensene for integrering når Green-setningen brukes. Men det er måter hvor integralene etter å være definert kan være enklere. Optimaliseringen av integrasjonsgrensene fortjener oppmerksomhet.
Hvor vi løser integralene får vi:
Denne verdien tilsvarer i kubiske enheter regionen under vektorfunksjonen og over det trekantede området definert av C.
For linjens integral uten å utføre Green-metoden, ville det ha vært nødvendig å parameterisere funksjonene i hver del av regionen. Det vil si utføre 3 parametriserte integraler for oppløsningen. Dette er tilstrekkelig bevis på effekten som Robert Green hadde med seg setningen til kalkulus.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.