De binomial teorem er en ligning som forteller oss hvordan vi kan utvikle et uttrykk for formen (a + b)n for noe naturlig tall n. En binomial er ikke mer enn summen av to elementer, som (a + b). Det lar oss også vite for en periode gitt av akbn-k hva er koeffisienten som følger med den.
Denne setningen tilskrives ofte den engelske oppfinneren, fysikeren og matematikeren Sir Isaac Newton; Imidlertid er det funnet forskjellige poster som indikerer at eksistensen allerede var kjent i Midtøsten, rundt år 1000.
Artikkelindeks
Binomialsetningen forteller oss matematisk følgende:
I dette uttrykket er a og b reelle tall og n er et naturlig tall.
Før vi gir demoen, la oss se på noen grunnleggende konsepter som er nødvendige.
Det kombinatoriske tallet eller kombinasjonene av n i k uttrykkes som følger:
Dette skjemaet uttrykker verdien av hvor mange delmengder med k-elementer som kan velges fra et sett med n-elementer. Dets algebraiske uttrykk er gitt av:
La oss se et eksempel: anta at vi har en gruppe på syv baller, hvorav to er røde og resten er blå..
Vi vil vite hvor mange måter vi kan ordne dem på rad. En måte kan være å plassere de to røde i første og andre posisjon, og resten av ballene i posisjonene som er igjen..
I likhet med det forrige tilfellet, kunne vi gi de røde ballene henholdsvis den første og siste posisjonen, og okkupere de andre med blå baller.
Nå er en effektiv måte å telle hvor mange måter vi kan ordne ballene på rad ved å bruke kombinasjonstall. Vi kan se hver posisjon som et element i følgende sett:
Så gjenstår det bare å velge en delmengde av to elementer, der hvert av disse elementene representerer posisjonen som de røde ballene vil okkupere. Vi kan ta dette valget i henhold til forholdet gitt av:
På denne måten har vi at det er 21 måter å bestille disse ballene på.
Den generelle ideen i dette eksemplet vil være veldig nyttig for å bevise binomialsetningen. La oss se på et bestemt tilfelle: hvis n = 4, har vi (a + b)4, som ikke er mer enn:
Når vi utvikler dette produktet, sitter vi igjen med summen av vilkårene oppnådd ved å multiplisere ett element av hver av de fire faktorene (a + b). Dermed vil vi ha vilkår som vil ha formen:
Hvis vi ønsket å få begrepet fra skjemaet a4, bare multipliser som følger:
Merk at det bare er en måte å få tak i dette elementet; men hva skjer hvis vi nå ser etter begrepet for skjemaet atobto? Siden “a” og “b” er reelle tall, og derfor er kommutativ lov gyldig, har vi den ene måten å oppnå dette begrepet på er å multiplisere med medlemmene som indikert av pilene.
Å utføre alle disse operasjonene er vanligvis litt kjedelig, men hvis vi ser begrepet "a" som en kombinasjon der vi vil vite hvor mange måter vi kan velge to "a" fra et sett med fire faktorer, kan vi bruke ideen fra forrige eksempel. Så vi har følgende:
Dermed vet vi at i den endelige utvidelsen av uttrykket (a + b)4 vi vil ha nøyaktig 6atobto. Ved å bruke den samme ideen til de andre elementene, må du:
Deretter legger vi til uttrykkene som er oppnådd tidligere, og vi har det:
Det er et formelt bevis for den generelle saken der "n" er et naturlig tall.
Merk at vilkårene som gjenstår når du utvikler (a + b)n De er av form akbn-k, hvor k = 0,1,…, n. Ved å bruke ideen til forrige eksempel har vi måten å velge "k" -variabler "a" av "n" -faktorene er:
Ved å velge på denne måten velger vi automatisk n-k-variabler "b". Av dette følger at:
Vurderer (a + b)5, Hva ville din utvikling være?
Etter binomialsetningen har vi:
Binomialteoremet er veldig nyttig hvis vi har et uttrykk der vi ønsker å vite hva koeffisienten til et bestemt begrep er uten å måtte gjøre full utvidelse. Som et eksempel kan vi ta følgende ukjente: hva er koeffisienten til x7Y9 i utvidelsen av (x + y)16?
Ved binomialsetningen har vi at koeffisienten er:
Et annet eksempel vil være: hva er koeffisienten til x5Y8 i utviklingen av (3x-7y)1. 3?
Først skriver vi om uttrykket på en praktisk måte; dette er:
Deretter, ved hjelp av binomialsetningen, har vi at koeffisienten som er ønsket er når vi har k = 5
Et annet eksempel på bruken av denne teoremet er beviset på noen vanlige identiteter, for eksempel de som vi vil nevne nedenfor.
Hvis "n" er et naturlig tall, har vi:
For beviset bruker vi binomialsetningen, hvor både "a" og "b" tar verdien av 1. Da har vi:
På denne måten har vi bevist den første identiteten.
Hvis "n" er et naturlig tall, da
Ved binomialsetningen har vi:
Vi kan lage et annet bevis for binomialsetningen ved hjelp av den induktive metoden og Pascals identitet, som forteller oss at hvis "n" og "k" er positive heltall som tilfredsstiller n ≥ k, så:
La oss først se at den induktive basen holder. Hvis n = 1, har vi:
Vi ser faktisk at det er oppfylt. La oss nå n = j slik at:
Vi vil se at for n = j + 1 er det sant at:
Så vi må:
Ved hypotese vet vi at:
Deretter bruker du den distribuerende eiendommen:
Deretter har vi utviklet hver av summasjonene:
Nå, hvis vi grupperer på en praktisk måte, har vi det:
Ved hjelp av identiteten til pascal har vi:
Til slutt, merk deg at:
Derfor ser vi at binomialsetningen holder for alle "n" som hører til de naturlige tallene, og med dette slutter beviset.
Det kombinatoriske tallet (nk) kalles også binomialkoeffisienten fordi det er nettopp koeffisienten som vises i utviklingen av binomialet (a + b)n.
Isaac Newton ga en generalisering av denne teoremet for saken der eksponenten er et reelt tall; denne teoremet er kjent som Newtons binomiale teorem.
Allerede i eldgamle tider var dette resultatet kjent for det spesielle tilfellet der n = 2. Denne saken er nevnt i Elementer av Euclid.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.