EN antiderivativ F (x) av en funksjon F(x) kalles også primitiv eller bare den ubestemte integralen til nevnte funksjon, hvis det er i et gitt intervall Jeg, Det er sant, det F '(x) = f (x)
La oss for eksempel ta følgende funksjon:
f (x) = 4x3
En antiderivativ av denne funksjonen er F (x) = x4, siden når man utleder F (x) ved hjelp av avledningsregelen for maktene:
Vi får nøyaktig f (x) = 4x3.
Dette er imidlertid bare ett av mange antiderivativer av f (x), siden denne andre funksjonen: G (x) = x4 + 2 er også, fordi når man differensierer G (x) med hensyn til x, oppnås det samme tilbake f (x).
La oss sjekke det ut:
Husk at derivatet av en konstant er 0. Derfor er begrepet x4 du kan legge til en hvilken som helst konstant, og dens derivat forblir 4 ganger3.
Det konkluderes med at enhver funksjon av den generelle formen F (x) = x4 + C, hvor C er en reell konstant, fungerer som antivirativ for f (x).
Illustrasjonseksemplet ovenfor kan uttrykkes slik:
dF (x) = 4x3 dx
Den antiderivative eller ubestemte integralen uttrykkes med symbolet ∫, derfor:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Hvor funksjonen f (x) = 4x3 det kalles integrering, og C er konstant integrering.
Artikkelindeks
Å finne et antiderivativ av en funksjon er greit i noen tilfeller der derivatene er velkjente. La for eksempel funksjonen f (x) = sin x, et antiderivativ for den er en annen funksjon F (x), slik at når vi differensierer den, får vi f (x).
Den funksjonen kan være:
F (x) = - cos x
La oss sjekke at det stemmer:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Derfor kan vi skrive:
∫sen x dx = -cos x + C
I tillegg til å kjenne til derivatene, er det noen grunnleggende og enkle integreringsregler for å finne den antiderivative eller ubestemte integralen.
La k være en virkelig konstant, så:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
to.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Hvis en funksjon h (x) kan uttrykkes som tillegg eller subtraksjon av to funksjoner, er dens ubestemte integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Dette er egenskapen til linearitet.
De maktenes styre for integraler kan den stilles inn på denne måten:
For tilfellet n = -1 brukes følgende regel:
5.- ∫x -1 dx = ln x + C
Det er lett å vise at derivatet av ln x det er nettopp x -1.
En differensialligning er en der det ukjente blir funnet som et derivat.
Fra den forrige analysen er det lett å innse at den inverse operasjonen til derivatet er den antiderivative eller ubestemte integralen.
La f (x) = y '(x), det vil si derivatet av en bestemt funksjon. Vi kan bruke følgende notasjon for å indikere dette derivatet:
Det følger umiddelbart at:
dy = f (x) dx
Det ukjente av differensiallikningen er funksjonen y (x), den som er derivat er f (x). For å løse det er det forrige uttrykket integrert på begge sider, noe som tilsvarer å bruke antiderivativet:
∫dy = ∫f (x) dx
Den venstre integralen løses av integrasjonsregelen 1, med k = 1, og løser dermed ønsket ukjent:
y (x) = ∫f (x) dx = F (x) + C.
Og siden C er en reell konstant, for å vite hvilken som er passende i hvert tilfelle, må utsagnet inneholde tilstrekkelig tilleggsinformasjon for å beregne verdien av C. Dette kalles innledende tilstand.
Vi vil se eksempler på anvendelse av alt dette i neste avsnitt.
Bruk integreringsreglene for å oppnå følgende antiderivativer eller ubestemte integraler av de gitte funksjonene, og forenkle resultatene så mye som mulig. Det er praktisk å verifisere resultatet ved avledning.
Vi bruker regel 3 først, siden integranden er summen av to termer:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
For den første integralen gjelder maktregelen:
∫ xdx = (xto / 2) + C1
Regel 1 gjelder den andre integralen, der k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + Cto
Og nå er resultatene lagt til. De to konstantene er gruppert i en, generelt kalt C:
∫ (x + 7) dx = (xto / 2) + 7x + C
Ved linearitet spaltes denne integralen i tre enklere integraler, som kraftregelen vil bli brukt på:
∫ (x3/2 + xto + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xto dx + ∫6 dx =
Merk at en konstant integrasjon vises for hver integral, men de møtes i en enkelt samtale C.
I dette tilfellet er det praktisk å anvende den fordelende egenskapen til multiplikasjon for å utvikle integranden. Deretter brukes maktregelen for å finne hver integral separat, som i forrige øvelse.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xto-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xto + x - 2) dx
Den nøye leseren vil observere at de to sentrale begrepene er like, derfor reduseres de før de integreres:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3xto dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xto - 2x + C
En måte å løse integralet på ville være å utvikle kraften, som det ble gjort i eksempel d. Ettersom eksponenten er høyere, vil det imidlertid være tilrådelig å endre variabelen for ikke å måtte gjøre en så lang utvikling.
Endringen av variabelen er som følger:
u = x + 7
Henter dette uttrykket til begge sider:
du = dx
Integralen forvandles til en enklere med den nye variabelen, som løses med kraftregelen:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Endelig returneres endringen for å gå tilbake til den opprinnelige variabelen:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
En partikkel er i utgangspunktet i ro og beveger seg langs x-aksen. Akselerasjonen for t> 0 er gitt av funksjonen a (t) = cos t. Det er kjent at ved t = 0 er posisjonen x = 3, alt i internasjonale systemenheter. Det blir bedt om å finne hastigheten v (t) og posisjonen x (t) til partikkelen.
Siden akselerasjon er det første avledede av hastighet med hensyn til tid, har vi følgende differensialligning:
a (t) = v '(t) = cos t
Det følger at:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C.1
På den annen side vet vi at hastigheten i sin tur er avledet av posisjonen, derfor integrerer vi igjen:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C.1 t + Cto
Konstantene for integrasjon bestemmes ut fra informasjonen gitt i uttalelsen. Først står det at partikkelen i utgangspunktet var i ro, derfor v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C1 = 0
C1 = 0
Så har vi at x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C.1 0 + Cto = - 1 + Cto = 3 → Cto = 3 + 1 = 4
Hastighets- og posisjonsfunksjonene er definitivt slik:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.