Akkordlengde (geometri), teorem og øvelser

EN streng, i plangeometri er det linjesegmentet som forbinder to punkter på en kurve. Linjen som inneholder dette segmentet sies å være en sekant linje til kurven. Dette er ofte en sirkel, men akkorder kan absolutt tegnes på mange andre kurver, som ellipser og paraboler..

I figur 1 til venstre er det en kurve som punktene A og B. tilhører. Akkorden mellom A og B er det grønne segmentet. Til høyre er en omkrets og en av strengene, siden det er mulig å tegne uendelig.

I omkretsen er dens diameter spesielt interessant, som også er kjent som stort akkord. Det er et akkord som alltid inneholder sentrum av omkretsen og måler dobbelt så stor radius.

Følgende figur viser radius, diameter, akkord og også sirkelbuen. Det er viktig å identifisere hver enkelt når du løser problemer.

Artikkelindeks

• 1 Akkordlengde på en omkrets
  • 1.1 Strengsetning 
• 2 Løst øvelser av strenger
  • 2.1 - Øvelse 1
  • 2.2 - Øvelse 2
• 3 Referanser

Akkordlengde på en omkrets

Vi kan beregne akkordlengden i en sirkel fra figurene 3a og 3b. Merk at en trekant alltid er dannet med to like sider (likebenede): segmentene OA og OB, som måler R, radiusen på omkretsen. Den tredje siden av trekanten er segmentet AB, kalt C, som er nøyaktig lengden på akkorden.

Det er nødvendig å tegne en linje vinkelrett på akkorden C for å halvere vinkelen θ som eksisterer mellom de to radiene og hvis toppunkt er sentrum O for omkretsen. Dette er en sentral vinkel -fordi toppunktet er senter- og halveringslinjen er også en sekant for omkretsen.

Umiddelbart blir det dannet to høyre trekanter, hvis hypotenus måler R. Siden halveringen, og med den diameteren, deler akkorden i to like store deler, viser det seg at det ene benet er halvparten av C, som indikert i figur 3b.

Fra definisjonen av sinus i en vinkel:

sin (θ / 2) = motsatt ben / hypotenuse = (C / 2) / R

Derfor:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Strengsetning 

Strengsetningen går slik:

Hvis noen to akkorder i en sirkel krysser seg på et punkt, er produktet av lengden på segmentene som vises på et av akkordene, lik produktet av lengdene på segmentene som er definert på det andre akkordet..

Følgende figur viser to akkorder med samme omkrets: AB og CD, som krysser ved punkt P. I akkorden AB er segmentene AP og PB definert, mens i akkordet er CD CP og PD definert. Så ifølge setningen:

AP. PB = CP. P.S.

Løst treningstrening

- Øvelse 1

En omkrets har en akkord på 48 cm, som er 7 cm fra midten. Beregn sirkelarealet og omkretsen av omkretsen.

Løsning  

For å beregne arealet av sirkel A, er det nok å kjenne omkretsens radius i kvadrat, siden det er sant:

A = π.R^to

Nå er figuren som er dannet med de oppgitte dataene en rett trekant, hvis ben er henholdsvis 7 og 24 cm.

Derfor for å finne verdien av R^to Pythagoras teorem brukes direkte c^to = a^to + b^to, siden R er hypotenusen til trekanten:

R^to = (7 cm)^to + (24 cm)^to = 625 cm^to

Så det etterspurte området er:

A = π. 625 cm^to = 1963,5 cm^to

Når det gjelder omkretsen eller lengden L på omkretsen, beregnes den av:

L = 2π. R

Erstatte verdier:

R = √625 cm^to = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Øvelse 2

Bestem lengden på akkorden til en sirkel hvis ligning er:

x^to + Y^to - 6x - 14y -111 = 0

Koordinatene til akkordets midtpunkt er kjent for å være P (17/2; 7/2).

Løsning

Midtpunktet til akkorden P ikke tilhører omkretsen, men sluttpunktene til akkorden gjør det. Problemet kan løses ved hjelp av den tidligere oppgitte strengsetningen, men først er det praktisk å skrive ligningen av omkretsen i kanonisk form, for å bestemme dens radius R og dens sentrum O.

Trinn 1: Få den kanoniske ligningen av omkretsen

Den kanoniske ligningen til sirkelen med sentrum (h, k) er:

(x-h)^to + (y-k)^to = R^to

For å oppnå det er det nødvendig å fullføre firkanter:

(x^to - 6x) + (og^to - 14y) -111 = 0

Merk at 6x = 2. (3x) og 14y = 2. (7y), slik at forrige uttrykk blir omskrevet slik, uendret:

(x^to - 6x + 3^to-3^to) + (og^to - 14 år + 7^to-7^to) -111 = 0

Og nå, husk definisjonen av bemerkelsesverdig produkt (a-b)^to = a^to - 2ab + b^to Det kan skrives:

(x - 3)^to - 3^to + (og - 7)^to - 7^to - 111 = 0

= (x - 3)^to + (og - 7)^to = 111 + 3^to + 7^to → (x - 3)^to + (og - 7)^to = 169

Omkretsen har senter (3,7) og radius R = √169 = 13. Følgende figur viser grafen for omkretsen og akkordene som skal brukes i teoremet:

Trinn 2: Bestem segmentene som skal brukes i strengsetningen

Segmentene som skal brukes er CD- og AB-strenger, i henhold til figur 6 er begge kuttet ved punkt P, derfor:

CP. PD = AP. PB

Nå skal vi finne avstanden mellom punktene O og P, siden dette vil gi oss lengden på segmentet OP. Hvis vi legger radien til denne lengden, vil vi ha segmentet CP.

Avstanden d_OP mellom to koordinatpunkter (x₁,Y₁) og (x_to,Y_to) Det er:

d_OP^to = OP^to = (x_to - x₁)^to + (Y_to - Y₁)^to = (3 - 17/2)^to + (7/7/2)^to = 121/4 + 49/4 = 170/4

d_OP = OP = √170 / 2

Med alle oppnådde resultater, pluss grafen, konstruerer vi følgende liste over segmenter (se figur 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = akkordlengde

Erstatter i strengsetningen:

CP. PD = AP. PB = [(13 + √170 / 2). (13 -√170 / 2)] = AP^to

[169 -170/4] = AP^to

253/2 = AP^to

AP = √ (253/2)

Akkordens lengde er 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Kunne leseren løse problemet på en annen måte?

Referanser

1. Baldor, A. 2004. Plan- og romgeometri med trigonometri. Publicaciones Cultural S.A. de C.V. Mexico.
2. C-K12. Lengde på et akkord. Gjenopprettet fra: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Gjenopprettet fra: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Gjenopprettet fra: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Tau (geometri). Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.