De polynomiske ligninger De er en uttalelse som hever likheten mellom to uttrykk eller medlemmer, hvor minst ett av begrepene som utgjør hver side av likheten er polynomer P (x). Disse ligningene er navngitt i henhold til graden av variablene.
Generelt er en ligning en påstand som etablerer likheten mellom to uttrykk, hvor det i minst ett av disse er ukjente størrelser, som kalles variabler eller ukjente. Selv om det er mange typer ligninger, klassifiseres de generelt i to typer: algebraisk og transcendental..
Polynomiske ligninger inneholder bare algebraiske uttrykk, som kan ha en eller flere ukjente involvert i ligningen. I henhold til eksponenten (grad) de har, kan de klassifiseres i: første grad (lineær), andre grad (kvadratisk), tredje grad (kubikk), fjerde grad (kvartart), grad større enn eller lik fem og irrasjonell.
Artikkelindeks
Polynomiske ligninger er uttrykk som er dannet av en likhet mellom to polynomer; det vil si med endelige summer av multiplikasjoner mellom ukjente verdier (variabler) og faste tall (koeffisienter), der variablene kan ha eksponenter, og deres verdi kan være et positivt heltall, inkludert null.
Eksponentene bestemmer graden eller typen ligning. Begrepet for uttrykket som har høyest verdi eksponent vil representere den absolutte graden av polynomet.
Polynomligninger er også kjent som algebraisk, deres koeffisienter kan være reelle eller komplekse tall, og variablene er ukjente tall representert med en bokstav, for eksempel: "x".
Hvis du erstatter variabelen "x" i P (x) med en verdi, er resultatet lik null (0), og den verdien sies å tilfredsstille ligningen (det er en løsning), og kalles vanligvis roten til polynomet.
Når du utvikler en polynomligning, vil du finne alle røttene eller løsningene.
Det er flere typer polynomiske ligninger, som er differensiert i henhold til antall variabler, og også i henhold til graden av eksponenten.
Dermed kan polynomligningene - der den første termen er et polynom som har en enkelt ukjent, med tanke på at graden kan være et hvilket som helst naturlig tall (n) og det andre begrepet er null - kan uttrykkes som følger:
tiln * xn + tiln-1 * xn-1 +… + A1 * x1 + til0 * x0 = 0
Hvor:
- tiln, tiln-1 allerede0, er reelle koeffisienter (tall).
- tiln er forskjellig fra null.
- Eksponenten n er et positivt heltall som representerer ligningsgraden.
- x er variabelen eller ukjent som det skal søkes etter.
Den absolutte eller større grad av en polynomligning er eksponenten med den høyeste verdien blant alle de som danner polynomet; dermed er ligningene klassifisert som:
Første grads polynomiske ligninger, også kjent som lineære ligninger, er de der graden (den største eksponenten) er lik 1, polynomet har formen P (x) = 0; og den er sammensatt av en lineær term og en uavhengig. Det er skrevet som følger:
øks + b = 0.
Hvor:
- a og b er reelle tall og a ≠ 0.
- øks er det lineære begrepet.
- b er det uavhengige begrepet.
For eksempel er ligningen 13x - 18 = 4x.
For å løse lineære ligninger må alle begrepene som inneholder den ukjente x overføres til den ene siden av likheten, og de som ikke har, flytter til den andre siden for å løse det og få en løsning:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Dermed har den gitte ligningen bare en løsning eller rot, som er x = 2.
Andregrads polynomligninger, også kjent som kvadratiske ligninger, er de hvor graden (den største eksponenten) er lik 2, polynomet har formen P (x) = 0, og er sammensatt av et kvadratisk begrep, en lineær og en uavhengig. Det uttrykkes som følger:
øksto + bx + c = 0.
Hvor:
- a, b og c er reelle tall og a ≠ 0.
- øksto er det kvadratiske begrepet, og "a" er koeffisienten til det kvadratiske begrepet.
- bx er den lineære termen, og "b" er koeffisienten til den lineære termen.
- c er det uavhengige begrepet.
Generelt er løsningen på denne typen ligninger gitt ved å løse x fra ligningen, og den er som følger, som kalles resolvent:
Der, (bto - 4ac) kalles ligningen som diskriminerende, og dette uttrykket bestemmer antall løsninger som ligningen kan ha:
- Ja (bto - 4ac) = 0, vil ligningen ha en enkelt løsning som er dobbelt; det vil si at den vil ha to like løsninger.
- Ja (bto - 4ac)> 0, vil ligningen ha to forskjellige reelle løsninger.
- Ja (bto - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).
For eksempel har vi ligningen 4xto + 10x - 6 = 0, for å løse det, identifiser først begrepene a, b og c, og erstatt det i formelen:
a = 4
b = 10
c = -6.
Det er tilfeller der andregrads polynomligninger ikke har alle tre begrepene, og det er derfor de løses på en annen måte:
- I tilfelle at kvadratiske ligninger ikke har den lineære termen (det vil si b = 0), vil ligningen uttrykkes som axto + c = 0. For å løse det, løse for xto og kvadratrøttene påføres hvert medlem, og husk at de to mulige tegnene på at det ukjente kan ha må vurderes:
øksto + c = 0.
xto = - c ÷ a
For eksempel 5 xto - 20 = 0.
5 xto = 20
xto = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x1 = 2.
xto = -2.
- Når den kvadratiske ligningen ikke har et uavhengig begrep (det vil si c = 0), vil ligningen uttrykkes som axto + bx = 0. For å løse det, må vi ta den felles faktoren til det ukjente x i det første medlemmet; Da ligningen er lik null, er det sant at minst en av faktorene vil være lik 0:
øksto + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Dermed må du:
x = 0.
x = -b ÷ a.
For eksempel: vi har ligningen 5xto + 30x = 0. Første faktor:
5xto + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
To faktorer genereres som er x og (5x + 30). Det anses at en av disse vil være lik null, og den andre får en løsning:
x1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
xto = -6.
Polynomiske ligninger av høyere grad er de som går fra tredje grad og utover, som kan uttrykkes eller løses med den generelle polynomligningen for hvilken som helst grad:
tiln * xn + tiln-1 * xn-1 +… + A1 * x1 + til0 * x0 = 0
Dette brukes fordi en ligning med en grad større enn to er resultatet av faktorisering av et polynom; det vil si at det uttrykkes som multiplikasjon av polynomer av grad en eller større, men uten ekte røtter.
Løsningen på denne typen ligninger er direkte, fordi multiplikasjonen av to faktorer vil være lik null hvis noen av faktorene er null (0); Derfor må hver av de funnet polynomligningene løses, og setter hver av faktorene til null.
For eksempel har vi tredjegrads (kubikk) ligning x3 + xto +4x + 4 = 0. For å løse det må følgende trinn følges:
- Begrepene er gruppert:
x3 + xto +4x + 4 = 0
(x3 + xto ) + (4x + 4) = 0.
- Medlemmene brytes ned for å få den felles faktoren til det ukjente:
xto (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(xto + 4)*(x + 1) = 0.
- På denne måten oppnås to faktorer, som må være lik null:
(xto + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Det kan sees at faktoren (xto + 4) = 0 vil ikke ha en reell løsning, mens faktoren (x + 1) = 0 vil ha. Så løsningen er:
(x + 1) = 0
x = -1.
Løs følgende ligninger:
(2xto + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.
I dette tilfellet blir ligningen uttrykt som multiplikasjon av polynomer; det vil si at den er fakturert. For å løse det, må hver faktor settes lik null:
- 2xto + 5 = 0, har ingen løsning.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
Dermed har den gitte ligningen to løsninger: x = 3 og x = -1.
x4 - 36 = 0.
Et polynom ble gitt, som kan skrives om som en forskjell i firkanter for å komme til en raskere løsning. Dermed er ligningen:
(xto + 6)*(xto - 6) = 0.
For å finne løsningen på ligningene settes begge faktorene lik null:
(xto + 6) = 0, har ingen løsning.
(xto - 6) = 0
xto = 6
x = ± √6.
Dermed har den innledende ligningen to løsninger:
x = √6.
x = - √6.
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.