De homoteki Det er en geometrisk endring i planet der avstandene multipliseres med en felles faktor fra et fast punkt kalt sentrum (O). På denne måten tilsvarer hvert punkt P et annet punkt P 'produkt av transformasjonen, og disse er justert med punkt O.
Deretter handler homoteky om en samsvar mellom to geometriske figurer, hvor de transformerte punktene kalles homotetiske, og disse er justert med et fast punkt og med segmenter parallelle med hverandre..
Artikkelindeks
Homoteki er en transformasjon som ikke har et kongruent bilde, for fra en figur vil man få en eller flere figurer av større eller mindre størrelse enn den opprinnelige figuren; altså transformerer homoteky en polygon til en annen lignende.
For at homotekinen skal oppfylles, må punkt til punkt og linje til linje stemme overens, slik at parene med homologe punkter er justert med et tredje fast punkt, som er sentrum for homøtheten.
På samme måte må linjeparene som forbinder dem være parallelle. Forholdet mellom slike segmenter er en konstant som kalles homothecy ratio (k); på en slik måte at homoteki kan defineres som:
For å gjennomføre denne typen transformasjon, begynner vi med å velge et vilkårlig punkt, som vil være sentrum for homoteket.
Fra dette punktet tegnes linjesegmenter for hvert toppunkt i figuren som skal transformeres. Skalaen der reproduksjonen av den nye figuren er laget er gitt av forholdet mellom homotecy (k).
En av de viktigste egenskapene til homotecy er at av homotetisk grunn (k), er alle homotetiske figurer like. Andre bemerkelsesverdige egenskaper inkluderer følgende:
- Senteret for homotecia (O) er det eneste doble punktet og det blir seg selv; det vil si at det ikke varierer.
- Linjene som går gjennom sentrum transformeres til seg selv (de er doble), men punktene som komponerer det er ikke dobbelt.
- Linjene som ikke går gjennom sentrum blir parallelle linjer; på denne måten forblir homothecy-vinklene de samme.
- Bildet av et segment med en homotese av sentrum O og forhold k, er et segment parallelt med dette og har k ganger lengden. For eksempel, som kan sees i det følgende bildet, vil et segment AB etter homotecy resultere i et annet segment A'B ', på en slik måte at AB vil være parallell med A'B' og k vil være:
- Homotetiske vinkler er kongruente; det vil si at de har samme mål. Derfor er bildet av en vinkel en vinkel som har samme amplitude.
På den annen side varierer homoteksten avhengig av verdien av forholdet (k), og følgende tilfeller kan forekomme:
- Hvis konstanten k = 1, er alle punktene faste fordi de transformerer seg selv. Dermed sammenfaller den homotetiske figuren med den opprinnelige, og transformasjonen vil bli kalt identitetsfunksjonen.
- Hvis k ≠ 1, vil det eneste faste punktet være sentrum for homotetikken (O).
- Hvis k = -1, blir homotecy en sentral symmetri (C); det vil si at en rotasjon vil skje rundt C, i en vinkel på 180eller.
- Hvis k> 1, vil størrelsen på den transformerte figuren være større enn originalens størrelse.
- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Hvis k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
Homotecy kan også klassifiseres i to typer, avhengig av verdien av forholdet (k):
Det oppstår hvis konstanten k> 0; det vil si at de homotiske punktene er på samme side med hensyn til sentrum:
Proportionalitetsfaktoren eller likhetsforholdet mellom de direkte homotetiske tallene vil alltid være positiv.
Det oppstår hvis konstanten k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
Proportionalitetsfaktoren eller likhetsforholdet mellom de omvendte homotetiske tallene vil alltid være negativ.
Når flere bevegelser utføres suksessivt til de får en figur lik originalen, oppstår en bevegelsessammensetning. Sammensetningen av flere satser er også en bevegelse.
Sammensetningen mellom to homotekere resulterer i en ny homoteki; det vil si at det er et produkt av homotetier der sentrum vil bli justert med sentrum av de to originale transformasjonene, og forholdet (k) er produktet av de to forholdene.
Dermed i sammensetningen av to homotekier H1(ELLER1, k1) og Hto(ELLERto, kto), multiplikasjonen av deres forhold: k1 x kto = 1 vil resultere i en homoteky av forholdet k3 = K1 x kto. Senteret for denne nye homotekien (O3) vil være plassert på linjen O1 ELLERto.
Homotecia tilsvarer en flat og irreversibel forandring; hvis det brukes to homoterier som har samme senter og forhold, men med et annet tegn, vil den opprinnelige figuren bli oppnådd.
Bruk en homoteky til den gitte polygonen med sentrum (O), som ligger 5 cm fra punkt A og hvis forhold er k = 0,7.
Ethvert punkt er valgt som sentrum for homoteket, og fra dette punktet blir stråler tegnet gjennom figurens hjørner:
Vi har at avstanden fra sentrum (O) til punkt A er OA = 5; Med dette kan avstanden til et av de homotetiske punktene (OA ') bestemmes, vel vitende om at k = 0,7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
Prosessen kan gjøres for hvert toppunkt, eller den homotetiske polygonen kan også tegnes og huske at de to polygonene har parallelle sider:
Endelig ser transformasjonen slik ut:
Bruk en homoteky på den gitte polygonen med sentrum (O), som ligger 8,5 cm fra punkt C og hvis y-forhold k = -2.
Avstanden fra sentrum (O) til punkt C er OC = 8,5; Med disse dataene er det mulig å bestemme avstanden til et av de homotetiske punktene (OC '), også å vite at k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
Etter å ha tegnet segmentene til toppunktene til den transformerte polygonen, er startpunktene og deres homotetikk plassert i motsatte ender i forhold til sentrum:
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.