De betinget sannsynlighet Det er muligheten for forekomst av en bestemt hendelse, gitt at en annen oppstår som en tilstand. Denne tilleggsinformasjonen kan (eller ikke) modifisere oppfatningen om at noe vil skje.
For eksempel kan vi spørre oss selv: "Hva er sannsynligheten for at det regner i dag, gitt at det ikke har regnet på to dager?" Hendelsen som vi ønsker å vite sannsynligheten for, er at det regner i dag, og tilleggsinformasjonen som vil gi svaret er at "det har ikke regnet på to dager".
Vær en sannsynlig plass sammensatt av Ω (prøveområde), ℬ (tilfeldige hendelser) og P (sannsynligheten for hver hendelse), pluss hendelsene A og B som tilhører ℬ.
Den betingede sannsynligheten for at A oppstår, gitt at B skjedde, som er betegnet som P (A│B), er definert som følger:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A og B) / P (B)
Hvor: P (A) er sannsynligheten for forekomst av A, P (B) er sannsynligheten for hendelse B og er forskjellig fra 0, og P (A∩B) er sannsynligheten for skjæringspunktet mellom A og B, det vil si ,, sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer (felles sannsynlighet).
Dette er et uttrykk for Bayes 'teorem anvendt på to hendelser, foreslått i 1763 av den engelske teologen og matematikeren Thomas Bayes.
Artikkelindeks
-Hver betinget sannsynlighet er mellom 0 og 1:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-Sannsynligheten for at hendelse A inntreffer, gitt at hendelsen inntreffer, er åpenbart 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Hvis to hendelser er eksklusive, det vil si hendelser som ikke kan skje samtidig, er den betingede sannsynligheten for at en av dem skjer 0, siden skjæringspunktet er null:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Hvis B er en delmengde av A, er den betingede sannsynligheten også 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Viktig
P (A│B) er generelt ikke lik P (B│A), derfor må vi være forsiktige med ikke å utveksle hendelsene når vi finner den betingede sannsynligheten.
Mange ganger vil du finne fellessannsynligheten P (A∩B), snarere enn den betingede sannsynligheten. Deretter har vi gjennom følgende setning:
P (A∩B) = P (A og B) = P (A│B). P (B)
Teoremet kan utvides for tre hendelser A, B og C:
P (A∩B∩C) = P (A og B og C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
Og også for forskjellige arrangementer, som A1, TILto, TIL3 og mer, kan det uttrykkes som følger:
P (A1∩ Ato ∩ A3… ∩ An) = P (A.1). P (Ato│A1). P (A3│A1∩ Ato) ... P (An││A1∩ Ato∩… An-1)
Når det er tilfelle av hendelser som skjer i rekkefølge og gjennom forskjellige stadier, er det praktisk å organisere dataene i et diagram eller en tabell. Dette gjør det lettere å visualisere alternativene for å nå ønsket sannsynlighet..
Eksempler på dette er tre diagram og beredskapstabell. Fra en av dem kan du bygge den andre.
La oss se på noen situasjoner der sannsynligheten for en hendelse endres av forekomsten av en annen:
To typer kaker selges i en søt butikk: jordbær og sjokolade. Ved å registrere preferansene til 50 klienter av begge kjønn ble følgende verdier bestemt:
-27 kvinner, hvorav 11 foretrekker jordbærkake og 16 sjokoladekake.
-23 menn: 15 velger sjokolade og 8 jordbær.
Sannsynligheten for at en kunde velger en sjokoladekake kan bestemmes ved å anvende Laplaces regel, ifølge hvilken sannsynligheten for enhver hendelse er:
P = antall gunstige arrangementer / totalt antall arrangementer
I dette tilfellet, av 50 kunder, foretrekker totalt 31 sjokolade, så sannsynligheten vil være P = 31/50 = 0,62. Det vil si at 62% av kundene foretrekker sjokoladekake.
Men ville det være annerledes hvis klienten er en kvinne? Dette er et tilfelle av betinget sannsynlighet.
Ved hjelp av en beredskapstabell som dette vises totalene enkelt:
Deretter blir de gunstige tilfellene observert og Laplaces regel blir brukt, men først definerer vi hendelsene:
-B er hendelsen "kvinnelig klient".
-A er begivenheten "foretrekker sjokoladekake" som kvinne.
Vi går til kolonnen merket "kvinner" og der ser vi at totalen er 27.
Deretter blir den gunstige saken søkt i "sjokolade" -raden. Det er 16 av disse hendelsene, og sannsynligheten er derfor direkte:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
59,24% av kvinnelige kunder foretrekker sjokoladekake.
Denne verdien sammenfaller når vi kontrasterer den med den opprinnelige definisjonen av betinget sannsynlighet:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Vi sørger for å bruke Laplaces regel og verdiene i tabellen:
P (B) = 27/50
P (A og B) = 16/50
Der P (A og B) er sannsynligheten for at kunden foretrekker sjokolade og er kvinne. Nå er verdiene erstattet:
P (A│B) = P (A og B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.
Og det er bevist at resultatet er det samme.
I dette eksemplet gjelder multiplikasjonsregelen. Anta at det er bukser i tre størrelser som vises i en butikk: små, mellomstore og store..
I en mengde med totalt 24 bukser, hvorav det er 8 i hver størrelse og alle er blandet, hva er sannsynligheten for å trekke ut to av dem, og at begge var små?
Det er klart at sannsynligheten for å fjerne en liten bukse ved første forsøk er 8/24 = 1/3. Nå er det andre utdraget betinget av den første hendelsen, siden når du fjerner et par bukser, er det ikke lenger 24, men 23. Og hvis en liten bukse fjernes, er det 7 i stedet for 8.
Arrangement A trekker en liten bukse, etter å ha trukket en til på første forsøk. Og begivenhet B er den med de små buksene første gang. Derfor:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Til slutt bruker du multiplikasjonsregelen:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
I en studie av punktlighet på kommersielle flyreiser er følgende data tilgjengelig:
-P (B) = 0,83, er sannsynligheten for at et fly tar av i tide.
-P (A) = 0,81, er sannsynligheten for å lande i tide.
-P (B∩A) = 0,78 er sannsynligheten for at flyet ankommer i tide og tar av i tide.
Det blir bedt om å beregne:
a) Hva er sannsynligheten for at flyet vil lande i tide gitt at det tok av i tide?
b) Er den forrige sannsynligheten den samme som sannsynligheten for at han forlot i tide hvis han klarte å lande i tide??
c) Og til slutt: hva er sannsynligheten for at den kommer fram i tide gitt det ikke kom ut i tide?
For å svare på spørsmålet brukes definisjonen av betinget sannsynlighet:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A og B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398
I dette tilfellet utveksles hendelsene i definisjonen:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A og B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630
Merk at denne sannsynligheten er litt forskjellig fra den forrige, som vi tidligere påpekte.
Sannsynligheten for ikke å dra i tide er 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, vi vil kalle det P (BC), fordi det er den komplementære begivenheten å ta av i tide. Den søkte betingede sannsynligheten er:
P (A│BC) = P (A∩BC) / P (BC) = P (A og B.C) / P (BC)
På den andre siden:
P (A∩BC) = P (landing i tide) - P (landing i tide og avgang i tide) = 0,81-0,78 = 0,03
I dette tilfellet er den søkte betingede sannsynligheten:
P (A│BC) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.