De Fourier transform er en metode for analytisk tilstrekkelighet orientert mot integrerbare funksjoner som tilhører familien til tintegrert forvandlet. Den består av en omdefinering av funksjoner F (t) når det gjelder Cos (t) og Sen (t).
De trigonometriske identitetene til disse funksjonene, sammen med deres avlednings- og antiderivasjonsegenskaper, tjener til å definere Fourier-transformasjonen gjennom følgende komplekse funksjon:
Noe som er sant så lenge uttrykket gir mening, det vil si når den feilaktige integralen er konvergent. Algebraisk sies det at Fourier-transformasjonen er en lineær homeomorfisme.
Hver funksjon som kan arbeides med en Fourier-transform, må presentere null utenfor en definert parameter.
Artikkelindeks
Fourier-transformasjonen oppfyller følgende egenskaper:
For å verifisere eksistensen av Fourier-transformasjonen i en funksjon f (t) definert i realene R, følgende to aksiomer må oppfylles:
La M (t) og N (t) være to funksjoner med bestemte Fourier-transformasjoner, med alle konstanter a og b.
F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)
Som også støttes av lineariteten til integralen med samme navn.
Den har en funksjon F som er kontinuerlig og integrerbar i alle realene, der:
Og derivatet av f (f ') er kontinuerlig og definert stykkevis gjennom R
Fourier-transformasjonen av et derivat er definert av integrering av deler, ved følgende uttrykk:
F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)
I høyere ordens avledninger vil den bli brukt på en homolog måte, hvor vi for alle n 1 har:
F [f n'(t)] (z) = (iz)nF [f (t)] (z)
Den har en funksjon F som er kontinuerlig og integrerbar i alle realene, der:
i (d / dz)F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)
For alle θ som tilhører et sett S og T som tilhører settet S ', har vi:
F [ τtil θ] = og-iay F [ θ] F [ τtilT ] = og-iax F [ T]
Med τtil arbeider som oversetteroperatør på vektoren a.
For alle θ som tilhører et sett S og T som tilhører settet S ', har vi:
τtil F [θ] = F [og-iax.θ] τtil F [T ] = F [og-iay . T]
For alle til som tilhører R
For alle θ som tilhører et sett S. T som tilhører settet S '
λ tilhører R - 0 du må:
F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Y /λ)
F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ)
Ja F er en kontinuerlig og tydelig integrerbar funksjon, der a> 0. Deretter:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
For å demonstrere dette resultatet kan vi fortsette med endringen av variabelen.
Når T → + så er s = ved → + ∞
Når T → - så er s = ved → - ∞
For å studere symmetrien til Fourier-transformasjonen, må identiteten til Parseval og Plancherel-formelen verifiseres.
Vi har θ og δ som tilhører S. Derfra kan det trekkes ut at:
Får
1 / (2π)d F [θ ], F [δ] Parsevals identitet
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||LtoRd Plancherel formel
Forfølger lignende mål som i Laplace-transformasjonen, refererer sammensmelting av funksjoner til produktet mellom Fourier-transformasjonene.
Vi har f og g som to avgrensede, bestemte og helt integrerbare funksjoner:
F (f * g) = F (f). F (g)
Så når du endrer variabelen
t + s = x; det fortsetter med den feilaktige doble integralen
F (f). F (g) = F (f. G)
For alle θ som tilhører R, F [ θ] overholder kriteriene for en kontinuerlig funksjon avgrenset i Rd.
Også F [ θ] (y) → 0 i C hvis | y | → ∞
Dette matematiske konseptet ble presentert av Joseph B. Fourier i 1811 mens han utviklet en avhandling om varmespredning. Den ble raskt adoptert av forskjellige grener av vitenskap og ingeniørfag.
Det ble etablert som det viktigste arbeidsverktøyet i studiet av ligninger med delvis derivater, til og med å sammenligne det med det eksisterende arbeidsforholdet mellom Laplace-transformasjon og vanlige differensiallikninger.
Det tjener primært til å forenkle ligninger betydelig, mens transformere avledede uttrykk til kraftelementer, som betegner differensialuttrykk i form av integrerbare polynomer..
I optimalisering, modulering og modellering av resultater fungerer det som et standardisert uttrykk, og er en hyppig ressurs for engineering etter flere generasjoner.
De er serier definert i form av Cosines og Sines; De tjener til å lette arbeidet med generelle periodiske funksjoner. Når de brukes, er de en del av teknikkene for å løse vanlige og delvise differensialligninger..
Fourier-serien er enda mer generell enn Taylor-serien, fordi de utvikler periodiske diskontinuerlige funksjoner som ikke har en Taylor-serierepresentasjon..
For å forstå Fourier-transformasjonen analytisk, er det viktig å gjennomgå de andre måtene Fourier-serien kan bli funnet på, til vi kan definere Fourier-serien i dens komplekse notasjon..
Mange ganger er det nødvendig å tilpasse strukturen til en Fourier-serie til periodiske funksjoner hvis periode er p = 2L> 0 i intervallet [-L, L].
Intervallet [-π, π] blir vurdert, noe som gir fordeler når man utnytter de symmetriske egenskapene til funksjonene.
Hvis f er jevn, er Fourier-serien etablert som en serie Cosines.
Hvis f er merkelig, blir Fourier-serien etablert som en serie Sines.
Hvis vi har en funksjon f (t), som oppfyller alle kravene til utviklingsevne i Fourier-serien, er det mulig å betegne den i intervallet [-t, t] ved å bruke den komplekse notasjonen:
Fourier-transformasjonen er et kraftig verktøy i studien av partielle differensiallikninger av den lineære typen med konstante koeffisienter. De gjelder for funksjoner med ubegrensede domener likt.
I likhet med Laplace-transformasjonen forvandler Fourier-transformasjonen en delvis avledet funksjon til en vanlig differensialligning som er mye enklere å betjene..
Cauchy-problemet for varmeligningen presenterer et felt med hyppig anvendelse av Fourier-transformasjonen der funksjonen genereres varmekjerne eller Dirichlet-kjerne.
Når det gjelder beregningen av den grunnleggende løsningen presenteres følgende tilfeller der det er vanlig å finne Fourier-transformasjonen:
-Laplace-ligning
-Varmeligning
-Schrödinger ligning
-Bølge ligning
Den generelle årsaken til anvendelsen av Fourier-transformasjonen i denne grenen skyldes hovedsakelig den karakteristiske nedbrytningen av et signal som en uendelig overstilling av lettere behandlingsbare signaler.
Det kan være en lydbølge eller en elektromagnetisk bølge, Fourier-transformasjonen uttrykker den i en superposisjon av enkle bølger. Denne representasjonen er ganske hyppig innen elektroteknikk.
På den annen side er det eksempler på anvendelse av Fourier-transformasjonen innen signalteori:
-Problemer med systemidentifikasjon. Etablert f og g
-Konsistensproblem med utgangssignal
-Problemer med signalfiltrering
Definer Fourier-transformasjonen for følgende uttrykk:
Vi kan også representere det på følgende måte:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H(t - k) ]
Den rektangulære pulsen er definert:
p (t) = H(t + k) - H(t - k)
Fourier-transformasjonen blir brukt på følgende uttrykk som ligner modulasjonssatsen.
f (t) = p (t) Sen (t)
Hvor: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
Og Fourier-transformasjonen er definert av:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Definer Fourier-transformasjonen for uttrykket:
Siden f (h) er en jevn funksjon, kan det fastslås at
Integrering av deler brukes ved å velge variablene og deres differensialer som følger
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-h)to v = (e-h)to / to
Erstatte du har
Etter å ha evaluert under den grunnleggende setningen til kalkulus
Ved å anvende forkunnskaper om førsteordens differensiallikninger, betegnes uttrykket som
For å få K vurderer vi
Til slutt er Fourier-transformasjonen av uttrykket definert som
Ingen har kommentert denne artikkelen ennå.